Riemannintegratie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De integraal als oppervlakte onder een functielijn.

Binnen de wiskunde, speciaal in de analyse, is Riemannintegratie een methode die werd ontwikkeld door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, om op een interval de oppervlakte onder de grafiek van een functie te berekenen. Die oppervlakte is de (Riemann)integraal van de beschouwde functie over dat interval.

De Riemannintegraal is voor veel theoretische doeleinden ongeschikt, en voor een groot aantal functies en praktische toepassingen kan de integraal eenvoudig bepaald worden met behulp van de hoofdstelling van de integraalrekening of door numerieke integratie.

Sommige van de technische onvolkomenheden van Riemannintegratie worden weggenomen door de Riemann-Stieltjes-integraal, en bijna alle door de Lebesgue-integraal.

Principe[bewerken]

Een Riemannsom

Stel dat we voor een functie f, die we voor het gemak niet-negatief nemen, de oppervlakte onder de grafiek willen uitrekenen boven een interval [a,b] in het domein. Riemann bedacht de volgende methode om deze oppervlakte te benaderen:

  • verdeel het interval [a,b] in een eindig aantal, zeg n, deelintervallen;
  • noem de lengte van het i-de deelinterval \Delta_{ni},
  • kies een punt x_i in het i-de deelinterval,

dan wordt de gevraagde oppervlakte benaderd door de som van de gemakkelijk te berekenen oppervlakten van de rechthoeken boven de deelintervallen met hoogten f(x_i). Deze som, die Riemannsom genoemd wordt, is:

\sum_{i = 1}^{n} f(x_i)\Delta_{ni}
Een sequentie van Riemannsommen. Het getal in de rechterbovenhoek van de afbeelding, is de som van de oppervlaktes van alle grijze rechthoeken. Deze som convergeert naar de (Riemann)integraal van de functie.

Door de verdeling in deelintervallen te verfijnen, dat wil zeggen door elk deelinterval weer verder te verdelen in een eindig aantal deelintervallen, zal een betere benadering verkregen worden. Bij steeds verdere verfijning, waarbij de lengte van het grootste deelinterval naar 0 gaat, zullen voor sommige functies de bijbehorende Riemannsommen convergeren. Dergelijke functies heten Riemannintegreerbaar en de limiet van de Riemannsommen is de gevraagde integraal, genoteerd als:

\int_a^b\! f

of als

\int_a^b\! f(x)\mathrm{d}x

Definitie[bewerken]

Voor de definitie van de Riemannintegraal zijn enkele begrippen nodig.

Een verdeling van het interval [a,b] is een eindige rij getallen van de vorm:

\!\, a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b.

Elk interval [x_{i-1},x_i] heet een deelinterval van de verdeling. De maas van de verdeling is de lengte van het grootste deelinterval.

Een gelabelde verdeling van [a,b] is een verdeling, waarbij in elk deelinterval [x_{i-1},x_i] een punt t_i is gegeven,

Een gelabelde verdeling V' heet een verfijning van de verdeling V als alle deelpunten x_i van V ook deelpunten van V' zijn en alle labels t_i van V ook labels van V' zijn.

De Riemannsom van een reële functie f gedefinieerd op het interval [a,b], met betrekking tot de gelabelde verdeling V van [a,b] met deelpunten x_0,\ldots,x_n en labels t_1,\ldots,t_n is:

S(f,V)=\sum_{i=1}^n f(t_i) (x_i-x_{i-1}).

Riemannintegraal[bewerken]

Een begrensde, reële functie f gedefinieerd op het interval [a,b], heet Riemannintegreerbaar met integraal R als voor elke ε > 0 er een δ > 0 is, zo, dat voor elke gelabelde verdeling V van [a,b] met maas kleiner dan δ, geldt:

\left|S(f,V) - R\right| < \varepsilon.


Deze oorspronkelijke definitie heeft als nadeel dat er erg moeilijk mee te werken is. Er is echter een equivalente, alternatieve definitie die gemakkelijker te hanteren is. In deze alternatieve definitie is f Riemannintegreerbaar met integraal R als voor elke ε > 0 er gelabelde verdeling bestaat, zo dat voor elke verfijning V' geldt:

\left|S(f,V')-R\right| < \varepsilon.

Beide definities houden in dat met toenemende verfijning of afnemende maas de Riemannsommen convergeren naar de integraal R.

Darbouxintegraal[bewerken]

Een gelijkwaardige definitie, maar technisch eenvoudiger dan de Riemannintegraal, is de Darbouxintegraal, genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Darboux, aan wie deze aanpak meestal wordt toegeschreven. In plaats van Riemannsommen gedefinieerd aan de hand van willekeurige punten uit de deelintervallen, wordt het oppervlak boven een deelinterval ingesloten tussen rechthoeken met hoogten gelijk aan het maximum en het minimum van de functie op een deelinterval.

Methode:

  • verdeel het interval [a,b] in een eindig aantal, zeg n, deelintervallen;
  • noem de lengte van het i-de deelinterval \Delta_{ni},
  • noem het supremum (maximum) van f op het i-de deelinterval M_{ni}
  • noem het infimum (minimum) van f op het i-de deelinterval m_{ni}

dan wordt de oppervlakte onder de grafiek van f boven het i-de deelinterval ingesloten tussen M_{ni}\Delta_{ni} en m_{ni}\Delta_{ni}.

De bijbehorende Riemansommen heten

de bovensom :\quad S=\sum_{i = 1}^{n} M_{ni}\Delta_{ni}

en

de ondersom :\quad s=\sum_{i = 1}^{n} m_{ni}\Delta_{ni}

De totale oppervlakte onder de grafiek boven het gehele interval [a,b] ligt dan tussen de boven- en ondersom en daarmee is een afschattende benadering van die oppervlakte verkregen.

Uiteraard wordt deze benadering steeds beter naarmate de verdeling in deelintervallen fijner wordt. De ware oppervlakte ligt dan tussen beide benaderingen (onder- en bovensom). Als in een bepaald limietproces de boven- en ondersommen convergeren naar een getal R, heet R de Darbouxintegraal van de functie f over het interval [a,b], genoteerd als:

R=\int_{a}^{b} f(x) dx.

De Darbouxintegraal is equivalent aan de Riemannintegraal, dat wil zeggen dat een functie die Darbouxintegreerbaar is, als zij Riemannintegreerbaar is en omgekeerd, en de Darbouxintegraal gelijk is aan de Riemannintegraal.

Hoofdstelling[bewerken]

Als f de afgeleide is van de functie F, kan volgens de hoofdstelling van de integraalrekening, de integraal R geschreven worden als:

\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a).

Merk op dat het zo dus ook mogelijk is een waardeverandering van de primitieve functie F te benaderen op het interval [a,b], zelfs als F zelf niet expliciet bepaald kan worden uit f.

Trivia[bewerken]

Het symbool ∫ waarmee een integraal wordt aangeduid, is geïntroduceerdi door de Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm von Leibniz tegen het eind van 17de eeuw. Het is gebaseerd op de lange s, ſ, en werd gekozen omdat de integraal een limiet is van sommen.