Hoofdstelling van de integraalrekening

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De hoofdstelling van de integraalrekening is een stelling uit de wiskunde, die het verband geeft tussen de begrippen afgeleide en integraal. Het is een centraal resultaat van de integraalrekening, of ruimer: de reële analyse, vandaar de naam. De stelling zegt dat differentiëren en integreren elkaars omgekeerde bewerkingen zijn. De concrete formulering en het bewijs hangt af van de gekozen definities en de gebruikte notie van integratie. In dit artikel wordt de meest elementaire notie van integreren gebruikt: de Riemannintegraal.

Stelling[bewerken]

De hoofdstelling van de integraalrekening bestaat uit twee delen. Het eerste deel stelt dat de integraal van een functie een primitieve functie is en het tweede doet de omgekeerde uitspraak: een primitieve functie geeft de integraal van een functie, op een constante na. Primitieve functie, alleen primitieve, stamfunctie en onbepaalde integraal zijn hetzelfde.

Eerste deel

Zij een reële continue functie is op het interval , dan is voor alle de functie

met

afleidbaar en een primitieve functie voor , dat wil zeggen voor alle

Tweede deel

Het tweede deel van de stelling maakt duidelijk dat men de integraal van een functie kan berekenen aan de hand van een primitieve functie:

Zij een continue functie met primitieve functie dan geldt:

Intuïtieve verklaring[bewerken]

Het blauw gearceerde gebied geeft de integraal van de functie , tussen en . Het rode gebied is gelijk aan . Anderzijds is de oppervlakte ook ongeveer gelijk aan . Voor kleine moet dus .

Het is mogelijk de bovenstaande stellingen te zien op een tekening. Stel dat men een functie beschouwt. Men kan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval noteren met Deze functie is dan de integraal van . Het verschil is dan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval . Indien klein is, is die oppervlakte ongeveer gelijk aan Bijgevolg is

Als erg klein is, staat rechts ongeveer de afgeleide van In woorden: de afgeleide van de integraal is dus de oorspronkelijke functie Dat is de kern van de hoofdstelling van de integraalrekening.

Opmerking[bewerken]

Merk wel op dat de primitieve functie van de afgeleide van een functie op een constante na kan verschillen van de oorspronkelijke functie. De primitieve functie is niet uniek: als een primitieve functie is van is dat ook. Deze dubbelzinnigheid levert echter geen probleem op indien men het verschil neemt van twee waarden van een primitieve functie, zoals de uitdrukking in hierboven.

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Bewijs[bewerken]

Om het eerste deel te bewijzen, moet men aantonen dat de afgeleide van gegeven door bestaat en gelijk is aan

Eerste deel

Kies een vaste en een voldoende kleine zodat Dan geldt

Beschouw het object in het rechterlid hierboven. Omwille van de middelwaardestelling bestaat er een reëel getal tussen en , zodat

Indien men nu laat gaan, moet en dus ook vanwege de continuïteit van Bijgevolg is

Dit betekent precies dat de afgeleide van ter hoogte van bestaat en gelijk is aan .

Tweede deel

Het bewijs van het tweede deel volgt uit het eerste. Stel dat men een primitieve functie heeft. Omwille van het eerste deel is ook de functie , gedefinieerd als

met

een primitieve functie. Bijgevolg zijn beiden, als primitieve functies van op een constante na gelijk: voor een bepaald getal Dan is

Wat het tweede deel van de stelling bewijst.

Integreren[bewerken]

Volgens de hoofdstelling is het berekenen van de oppervlakte onder een functie herleid tot het zoeken van een primitieve functie van Stel dat men de oppervlakte onder de functie wil kennen, zeg tussen de punten en . De functie is een voorbeeld van een primitieve functie van .

Dankzij het verband met afleiden, kan men een aantal zeer nuttige rekenregels opstellen voor het uitvoeren van integralen. De productregel voor afleiden kan men met de hoofdstelling vertalen naar de techniek van partiële integratie. Op gelijkaardige manier kan men de kettingregel gebruiken om de substitutieregel van integralen aan te tonen. Deze technieken laten toe om van een zeer breed gamma van functies de integraal te bepalen. Het is niet zo, dat van alle functies een primitieve functie is te berekenen, van de meeste functies wel. Wanneer van een functie de primitieve functie niet is te berekenen, kan op deze manier dus niet het oppervlakte tussen en de -as worden berekend. Bij de meeste functies is wel een primitieve functie te berekenen.

Externe link[bewerken]