Middelwaardestelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Middelwaardestelling

De middelwaardestelling is een stelling uit de analyse, die haar bekendheid dankt aan de toepassing als hulpstelling. Er kunnen bepaalde ongelijkheden mee worden bewezen. De stelling kent verschillende vormen, maar de bekendste is die van Lagrange. De stelling wordt met behulp van de stelling van Rolle bewezen en is sterk aan de tussenwaardestelling gerelateerd. De middelwaardestelling wordt soms de tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd.

De stelling, die in de nevenstaande figuur aanschouwelijk gemaakt wordt, houdt in dat van een functie die op differentieerbaar is, de grafiek op minstens één plaats dezelfde helling moet hebben als de verbindingslijn van de punten en , dat wil zeggen de afgeleide is ergens gelijk aan de 'middelwaarde', de verandering van op dat interval.

Stelling[bewerken]

Als de functie voor voldoet aan de voorwaarden:

  1. is continu op het gesloten interval ,
  2. is differentieerbaar op het open interval

dan is er een tussen en waarvoor geldt:

De stelling van Rolle is een speciaal geval van de middelwaarde stelling voor .

Bewijs[bewerken]

Voor het bewijs steunen we op de stelling van Rolle. We definiëren de functie door:

Dan voldoet aan de voorwaarden van de stelling van Rolle. Er bestaat dus een tussen en , waarvoor geldt:

.

Hieruit volgt het gestelde.

Middelwaardestelling van Cauchy[bewerken]

Er is een algemene vorm van de middelwaardestelling, die de middelwaardestelling van Cauchy wordt genoemd. Deze stelling zegt dat wanneer en de functies en voldoen aan de volgende voorwaarden:

  1. en zijn continu op het gesloten interval ,
  2. en zijn differentieerbaar op het open interval
  3. is verschillend van nul op het open interval

dat er dan een waarde bestaat tussen en zodat er geldt:

.

Merk allereerst al op dat wegens de derde voorwaarde en de stelling van Rolle verschillend van nul is, want anders zou nul zijn voor een zekere tussen en . Het bewijs verloopt verder volledig analoog aan dat van de middelwaardestelling: we beschouwen hier echter de functie

.

Merk op dat de stelling van Taylor, waarvan het bewijs eveneens berust op de stelling van Rolle en een slim gekozen functie, ook kan worden beschouwd als een generalisatie van de middelwaardestelling, en wel over afgeleiden.