Ongelijkheid (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een ongelijkheid is in de wiskunde een relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee wiskundige objecten. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat.

Definitie en notatie[bewerken]

Van twee reële getallen en zegt men dat kleiner is dan genoteerd als als er een positief getal is, waarvoor

  • In plaats schrijft men ook en zegt: is groter dan
  • Voor of schrijft men kort: en men zegt: is kleiner dan of gelijk aan of verkort is kleiner of gelijk
  • Voor of schrijft men kort: en men zegt: is groter dan of gelijk aan of verkort is groter of gelijk

De relaties en worden strikte ongelijkheden genoemd, dit in tegenstelling tot en .

Hoewel zonder exacte betekenis schrijft men wel:

  • met de betekenis: is veel kleiner dan
  • met de betekenis: is veel groter dan

Gebruik[bewerken]

Voor alle reële getallen a en b, is voldaan aan juist een van volgende drie mogelijkheden:

Om ongelijkheden in een makkelijker berekenbare vorm om te zetten, bestaan voor de basisbewerkingen enkele rekenregels:

  • Optelling en aftrekking van reële getallen en
    • Als , dan geldt: en
  • Vermenigvuldiging en deling van reële getallen en met
    • Als is en , geldt: en
    • Als is en , geldt: en
  • Eenvoudig te onthouden is dat de ongelijkheid omgedraaid wordt wanneer:
    • Men beide leden vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal.
    • Men beide leden omkeert: bv.

Ongelijkheden worden theoretisch vaak gebruikt om een boven- of ondergrens te bepalen voor grootheden, die niet eenvoudig berekenbaar zijn. Belangrijkste voorbeelden uit de maattheorie zijn de driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, en ongelijkheid van Hölder, in de statistiek de ongelijkheden van Markov, Chebyshev en Cramér-Rao. In de praktijk komen ongelijkheden vrijwel altijd voor om voorwaarden op te leggen aan bepaalde onbekenden bij het oplossen van een systeem vergelijkingen.

Zie ook[bewerken]