Relatie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde beschrijft een relatie het verband of de betrekking tussen objecten. Iedere relatie is gedefinieerd over een aantal verzamelingen en verbindt, uit deze verzamelingen, de elementen die met elkaar in het bedoelde verband staan. Het aantal verzamelingen waarover de relatie gedefinieerd is, heet de plaatsigheid of ariteit van de relatie. De relatie is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. De meest voorkomende relatie is de tweeplaatsige relatie, die objecten in tweetallen aan elkaar koppelt.

Als voorbeeld kan men zich de relatie voorstellen die het verband ... heeft per ... gereisd naar ... beschrijft. Deze relatie is gedefinieerd over drie verzamelingen: de verzameling van alle mensen, de verzameling van alle vervoermiddelen en de verzameling van alle locaties. Wanneer we uit iedere verzameling één element nemen, dan geeft deze relatie aan of ze met elkaar in het bedoelde verband staan. Zo verbindt de relatie bijvoorbeeld de volgende elementen met elkaar: Hannibal uit de verzameling van alle mensen, de olifant uit de verzameling van alle vervoermiddelen en Rome uit de verzameling van alle locaties. Neemt men echter het vliegtuig uit de tweede verzameling, in plaats van de olifant, dan zal de relatie de elementen niet met elkaar verbinden. Dat wil zeggen: "Hannibal heeft per olifant gereisd naar Rome" en "Hannibal heeft niet per vliegtuig gereisd naar Rome".

Definitie[bewerken]

Formeel is voor een -plaatsige relatie over de verzamelingen gedefinieerd als een -tupel , waarin

Dat wil zeggen dat een natuurlijk getal is en een deelverzameling is van het cartesisch product van de verzamelingen .

Men noteert voor de relatie ook wel of noemt eenvoudig de deelverzameling de relatie.

In sommige systemen van de axiomatische verzamelingenleer worden relaties gedefinieerd op klassen in plaats van verzamelingen. Deze aanpassing is onder andere nodig om de begrippen is een element van en is een deelverzameling van te kunnen beschrijven, zonder dat dit tot de Russell-paradox leidt.

Terminologie[bewerken]

Als een relatie is, wordt de grafiek van genoemd en worden de verzamelingen de domeinen van genoemd. Men zegt ook dat een relatie is over de verzamelingen .

Van het element worden argumenten van genoemd. Men zegt ook dat met elkaar in -relatie staan. Als uit de context duidelijk is om welke relatie het gaat, wordt ook simpelweg gezegd dat met elkaar in relatie staan.

Het getal wordt de plaatsigheid van genoemd. Men spreekt hierbij van een -plaatsige relatie.

Als alle domeinen dezelfde verzameling zijn, spreekt men van een homogene relatie, of van een endorelatie. In dit geval zegt met ook dat een -plaatsige relatie over , of een -plaatsige op is.

Voor alle verzamelingen wordt de relatie , waarin de lege verzameling is de lege relatie over genoemd.

Voor alle verzamelingen wordt de relatie , waarin de universele relatie over genoemd.

Notatie[bewerken]

De uitspraak " staan met elkaar in -relatie", d.w.z. , wordt op verschillende manieren genoteerd:

  • (functienotatie)
  • (Poolse notatie)

Bij een vierplaatsige relatie kan men bijvoorbeeld of schrijven. Bij een eenplaatsige relatie wordt dat of . Bij tweeplaatsige relaties wordt ook vaak de infixnotatie gebruikt: bijvoorbeeld voor een tweeplaatsige relatie

De functienotatie komt overeen met de indicatorfunctie van de grafiek van :

Voorbeeld[bewerken]

Het voorbeeld uit de inleiding kan formeel bescheven worden door drie verzamelingen.

M = { Hannibal, Caesar, Cleopatra }

de (erg kleine) verzameling mensen,

V = { Boot, Olifant, Paard, Vliegtuig }

de verzameling vervoermiddelen en

L = { Rome, Carthago, Alexandrië }

de verzameling locaties.

De relatie R = (G, M, V, L) wordt vastgelegd door de deelverzameling G van M×V×L

G = { (Caesar, Paard, Rome), (Caesar, Boot, Alexandrië), (Hannibal, Olifant, Rome) }.

Merk op dat R een drieplaatsige relatie over M, V en L is.

De uitspraak "Hannibal reisde per olifant naar Rome" wordt nu genoteerd als R(Hannibal, Olifant, Rome) en is volgens onze relatie waar, terwijl de uitspraak "Hannibal reisde per vliegtuig naar Rome" genoteerd wordt als R(Hannibal, Vliegtuig, Rome) en volgens onze relatie niet waar is.

Merk op dat de domeinen onrealistisch klein zijn, waardoor de hier geconstrueerde relatie R een zeer beperkt model van het bedoelde verband is. De relatie is dan ook niet volledig, wat wil zeggen dat niet alle ware uitspraken ook zodanig beschreven worden. De uitspraak "Cleopatra reisde per boot naar Rome" is bijvoorbeeld waar, terwijl de uitdrukking R(Cleopatra, Boot, Rome) onwaar is. Er zijn bovendien vele ware uitspraken die helemaal niet beschreven worden.[1] De uitdrukking R(Napoleon, Paard, Rome) is bijvoorbeeld niet gedefinieerd[2] en daarmee waar noch onwaar, terwijl de uitspraak "Napoleon reisde per paard naar Rome" een ware en volstrekt natuurlijke uitspraak is. Om de werkelijkheid volledig te beschrijven zouden gigantische modellen nodig zouden zijn.

Hoewel de relatie verre van volledig is, is ze wel correct. Dat wil zeggen dat alle uitspraken die door deze relatie als waar bestempeld worden, in werkelijkheid ook waar zijn.

Toepassingen[bewerken]

Een nulplaatsige relatie komt overeen met een Booleaanse constante. Een eenplaatsige relatie komt overeen met de karakteristieke functie van een verzameling, namelijk die van de grafiek van de relatie. Ook twee- en meerplaatsige relaties kunnen gezien worden als de karakteristieke functie van hun grafiek.

Logica[bewerken]

In de logica nemen relaties een belangrijke plaats in. De predicaten uit de predicatenlogica komen precies overeen met relaties. Net als eenplaatsige predicaten, kunnen eenplaatsige relaties dan ook gezien worden als model van een eigenschap. In de modale logica spelen tweeplaatsige relaties een belangrijke rol. Terwijl modale logica's vaak computationeel voordeliger zijn dan predicatenlogica, kunnen ze redeneren over tweeplaatsige relaties met veel van de belangrijkste eigenschappen, zoals transitiviteit en reflexiviteit.

Algebra[bewerken]

De afbeelding is gedefinieerd als een specifiek soort relatie. Het homomorfisme, een van de centrale begrippen in de algebra, is een specifiek geval van een afbeelding en daarmee specifiek geval van een relatie. Bij gevolg geldt hetzelfde voor de overige morfismen. Een ander in de algebra belangrijk begrip, de operatie, komt overeen met het algemenere begrip afbeelding en is dus ook een specifiek soort relatie.[3]

Meetkunde[bewerken]

In de meetkunde wordt onder andere het begrip congruentie gedefinieerd als een specifieke tweeplaatsige relatie.

Analyse[bewerken]

In de analyse wordt het centrale begrip functie gedefinieerd als een speciaal geval van een tweeplaatsige relatie.

Econometrie[bewerken]

De preferentierelatie van een consument is gedefinieerd als volgt: voor twee "consumptiepakketten" A en B betekent A B dat de consument B minstens zo graag heeft als A. Deze is reflexief en logischerwijs ook transitief. Het is dus een preorde, en in theorie voor een besluitvaardige en goed geïnformeerde consument ook een totale pre-orde. Op de verzameling equivalentieklassen van voor deze consument gelijkwaardige consumptiepakketten is er een bijbehorende partiële orde, respectievelijk totale orde.

Tweeplaatsige relaties[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Tweeplaatsige relatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De tweeplaatsige relatie is de meest gebruikte soort relatie en is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. Tweeplaatsige relaties worden in alle gebieden van de wiskunde gebruikt. De functie wordt bijvoorbeeld meestal gedefinieerd als een speciaal soort tweeplaatsige relatie en tweeplaatsige relaties met een eigenschap als bijectiviteit worden veelvuldig in bewijzen gebruikt, om bijvoorbeeld gelijkmachtigheid van verzamelingen aan te tonen.

Andere belangrijke toepassingen van tweeplaatsige relaties zijn equivalentierelaties, grafen en de verschillende ordes uit de ordetheorie.

Geschiedenis en achtergrond[bewerken]

De logicus Augustus De Morgan was rond 1860 de eerste die relaties zoals tegenwoordig bedoeld formaliseerde. Hij kwam ook met de eerste resultaten over relaties.[4] De filosofische definitie[5] van het begrip relatie die De Morgan formuleerde is:

Wanneer twee objecten, eigenschappen, klassen of attributen, tezamen aanschouwd door de geest, in een zeker verband gezien worden, dan wordt dat verband een relatie genoemd.[6]

Merk op dat hier strikt genomen enkel op tweeplaatsige relaties gedoeld wordt.

Na De Morgan publiceerde Charles Sanders Peirce meer resultaten over relaties. Bertrand Russell en Alfred North Whitehead brachten in hun Principia Mathematica[7] veel 19e-eeuwse resultaten samen, over relaties in het algemeen en orderelaties in het bijzonder. Dit werk heeft daarna gediend als de facto standaardreferentie voor vervolgstudie op het gebied van relaties.

Zie ook[bewerken]