Deelverzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Een venndiagram van de verzameling als deelverzameling van .
omvat .

In de verzamelingenleer is een deelverzameling van een gegeven verzameling een verzameling die geheel bevat is in (deel is van) de gegeven verzameling. Alle elementen van de deelverzameling zijn dus ook element van de gegeven verzameling. Als en verzamelingen zijn en ieder element van is ook een element van , dan is een deelverzameling van , genoteerd als:

.

Formeel:

.

Iedere verzameling is een deelverzameling van zichzelf, voor iedere verzameling geldt dus .

De omgekeerde definitie is minder gebruikelijk. Uitgaande van dezelfde verzamelingen en zeggen we: omvat , genoteerd als .

Strikte deelverzameling[bewerken]

Een deelverzameling van die niet gelijk is aan wordt een echte, strikte of eigenlijke deelverzameling genoemd. Formeel: is een strikte deelverzameling van als:

Verschillende schrijfwijzen[bewerken]

Als een strikte deelverzameling is van , wordt dat door sommige auteurs genoteerd als:

.[1]

De meeste auteurs noteren als een willekeurige deelverzameling van is, dus eventueel .

Er zijn dus twee notatiesystemen in omloop voor het aangeven van (echte) deelverzamelingen:

  • Het oudste systeem gebruikt het symbool om elke deelverzameling aan te geven en kent het symbool niet.
  • Een nieuwer systeem gebruikt het symbool voor een willekeurige deelverzameling en voor een echte deelverzameling.

Voorbeelden[bewerken]

  • {1,2} ⊂ {1,2,3} - De verzameling {1,2} is een echte deelverzameling van {1,2,3}.
  • {1,2,3} {1,2,3} - De verzameling {1,2,3} is een deelverzameling van zichzelf.
  • De verzameling van natuurlijke getallen is een echte deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen.
  • De verzameling is een priemgetal groter dan 2000 is een echte deelverzameling van is een oneven getal groter dan 1000
  • Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf, maar geen echte deelverzameling.
  • De lege verzameling, geschreven als {} of als , is een deelverzameling van elke verzameling. De lege verzameling is altijd een echte deelverzameling, behalve van zichzelf.
  • Het begrip hyponiem in de taal komt overeen met het begrip deelverzameling.

Machtsverzameling[bewerken]

De verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling wordt de machtsverzameling van genoemd en genoteerd als of als . Per definitie is dus:

.

Bronvermelding[bewerken]