Afbeelding (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Standaardnotatie voor " beeldt af op ".

In de wiskunde is het begrip afbeelding de verzamelingtheoretische interpretatie van het begrip functie. Omdat afbeeldingen gedefinieerd kunnen worden voor willekeurige verzamelingen, kan het begrip afbeelding ook gezien worden als een generalisatie van het begrip functie, dat gewoonlijk zo gedefinieerd is dat een functie altijd getallen als resultaat heeft.

Informeel gesproken is een afbeelding een voorschrift dat aan ieder element van een verzameling een element uit een (andere) verzameling toevoegt. Zo'n toevoeging laat zien hoe sommige elementen uit een verzameling afhankelijk zijn van de elementen uit een andere (of dezelfde) verzameling. Omdat de wiskunde onder andere zulke afhankelijkheden onderzoekt, is een afbeelding een belangrijk basisbegrip.

Definitie[bewerken]

Een afbeelding is een tweeplaatsige relatie tussen twee verzamelingen en met de eigenschap dat aan ieder element precies één element , het beeld van , wordt gekoppeld. Men noteert de afbeelding als

of ook als

en het unieke element dat door aan het element wordt toegevoegd als . De verzameling heet het domein (of definitiegebied) van ; de verzameling wordt wel het codomein genoemd. Met het bereik van wordt de deelverzameling van aangeduid die bestaat uit de beelden van de elementen van .

Een afbeelding is dus hetzelfde als een functie. De keuze van de term wordt soms bepaald door het soort afbeelding, zie onder. Zie ook onder bij "Volledige afbeelding".

Ruimere definitie[bewerken]

Soms wordt een afbeelding gedefinieerd als een partiële functie. Dat wil zeggen dat een afbeelding gedefinieerd is als een drietal waarvan en willekeurige verzamelingen zijn en een deelverzameloimg is van het cartesisch product , met de eigenschap dat voor alle en geldt:

als en dan is .

Deze eis van functionaliteit betekent informeel dat alle elementen uit aan ten hoogste één element uit gekoppeld zijn.

Het drietal in de definitie wordt ook wel in een andere volgorde genoemd, namelijk als het drietal in plaats van .

Soms wordt een afbeelding simpelweg gedefinieerd als een verzameling geordende paren, overeenkomstig met uit de eerste definitie, waarbij voor alle paren en geldt dat als dan . Uit welke verzamelingen de leden van de geordende paren komen, moet in dat geval expliciet genoemd worden of uit de context blijken. Strikt genomen wordt in dit geval niet het begrip afbeelding gedefinieerd, maar het begrip afbeelding van ... naar ..., omdat een verzameling paren enkel een afbeelding is in de context van de verzamelingen waaruit de leden van de paren komen.[1] De verzameling { (1, 2), (2, 3), ... } is bijvoorbeeld wel een afbeelding van de natuurlijke getallen naar , maar niet een afbeelding van naar de verzameling van meetkundige figuren. Deze verzameling is, met andere woorden, niet een afbeelding zonder meer.

Het belangrijkste verschil tussen deze definities komt aan het licht wanneer afbeeldingen op gelijkheid getoetst worden. Neem de afbeeldingen en , waarbij . Het is evident dat in dit geval , hoewel de verzameling geordende paren in beide afbeeldingen hetzelfde is. Onder de tweede definitie zouden dezelfde afbeeldingen echter als volgt gedefinieerd worden: en , waaruit volgt dat .

Terminologie[bewerken]

Als een afbeelding is, wordt de grafiek van genoemd. De verzameling heet het domein van en het codomein van . Men zegt ook dat een afbeelding van naar is.

Als , zegt men dat het toepassen van op als resultaat heeft, of dat door op afgebeeld wordt. Hierbij heet het beeld van onder . Soms wordt van "-beeld" of simpelweg "beeld" gesproken. Dit laatste enkel wanneer uit de context duidelijk is welke afbeelding bedoeld wordt.

Het beeld van deelverzamelingen van het domein, in plaats van elementen uit het domein, is ook gedefinieerd. Als , dan is

het beeld van de verzameling . Met " beeldt op af" wordt ook in het geval van verzamelingen en bedoeld dat het beeld van is.

Als , dan is

het origineel van onder . Soms wordt van "-origineel" of simpelweg "origineel" gesproken. Parallel aan de definitie van "beeld", is het origineel niet alleen op elementen uit het codomein, maar ook op deelverzamelingen van het codomein gedefinieerd. Als , dan is

het origineel van .

De verzameling van alle elementen uit het domein die door op een element uit het codomein afgebeeld worden,

,

heet het definitiegebied van . De elementen uit het definitiegebied worden de argumenten of originelen van genoemd. Als een argument van is, dan zegt met dat is gedefinieerd in . Soms wordt "domein" gedefinieerd als het definitiegebied in plaats van als de verzameling .

De verzameling van alle elementen uit het codomein die een beeld zijn van een element uit het domein,

,

heet de beeldverzameling of het bereik van . Met "bereik" wordt soms echter ook het codomein bedoeld.

Merk op dat het beeld van het definitiegebied (en van het domein) de beeldverzameling van is en dat het origineel van de beeldverzameling (en van het codomein) het definitiegebied van is.

Notatie[bewerken]

Voor iedere afbeelding geldt het volgende:

  • Het domein van wordt genoteerd als .
  • Het codomein van wordt genoteerd als .
  • Als een argument van is, wordt het beeld van onder genoteerd als of .
  • Als dan wordt het beeld van onder genoteerd als of .
  • Als , wordt het origineel van onder genoteerd als of .
  • Als , wordt voor het origineel van onder vaak de notatie gebruikt, als afkorting van , maar daarmee kan, in het geval van injectieve afbeeldingen, ook het inverse beeld van onder bedoeld worden.
  • De uitspraak " is een afbeelding van naar " wordt genoteerd als . Dit betekent dat het domein van is en het codomein van .
  • De uitspraak " beeldt af op " wordt genoteerd als . Als een ongebonden variabele is, betekent dit dat
,

waarbij de grafiek van is en het resultaat is van uniforme substitutie van door in . Deze notatie wordt vaak gebruikt om de grafiek van een afbeelding te definiëren. betekent bijvoorbeeld dat

de grafiek van is. Hierbij wordt impliciet gelaten dat het in dit geval dus gaat om de kleinste grafiek van zodanig dat .

  • In plaats van " en " wordt soms "" geschreven.

Voorbeeld[bewerken]

Ieder mens heeft een moeder. Aan elk mens kan zijn of haar moeder toegevoegd worden. Zo ontstaat een afbeelding, , die aan een mens zijn of haar moeder toevoegt. Dit wordt genoteerd als;

,

waarin alle mensen bevat en alle vrouwen. Met wordt 'de moeder van h' aangeduid, Zo is bijvoorbeeld , en , , , . Een 'grafiek' van deze afbeelding is:

V ...
Juliana X X X X
Beatrix
Irene
Margriet
Christina
Helena X
Maria X
...
... Jezus Alexander Beatrix Irene Margriet Christina ...
H

Met een X zijn de toevoegingen aangegeven. Daaruit ziet men dat de afbeelding eigenlijk bepaald wordt door alle koppels voor . Die koppels die de afbeelding betreffen, zijn een deel van alle koppels, d.w.z. van het cartesisch product van en . Zo'n deelverzameling wordt in de wiskunde een relatie (tussen en genoemd. Bij de afbeelding "moeder van" is er bij een mens altijd maar één vrouw in die toegevoegd wordt aan . Die eigenschap geldt voor elke afbeelding. Een afbeelding is dus een speciale relatie. Een afbeelding kan zo formeel gedefinieerd worden in bekende termen uit de verzamelingenleer, zonder dat gebruikgemaakt wordt van termen als "voorschrift" en "toevoegen", die in de wiskunde (nog) geen betekenis hebben.

Meerplaatsige afbeeldingen[bewerken]

Een meerplaatsige afbeelding is, informeel gesproken, een afbeelding die meer dan één argument nodig heeft om zijn resultaat te bepalen. Een tweeplaatsige afbeelding neemt twee argumenten, een drieplaatsige afbeelding neemt er drie, enzovoort. Een nulplaatsige afbeelding is een constante. De afbeelding is bijvoorbeeld drieplaatsig.

Er is geen wezenlijk verschil tussen een eenplaatsige en een meerplaatsige afbeelding, want meerdere argumenten kunnen als tupel worden samengevoegd tot één argument. Wat dan overblijft is een onderscheid in notatie: met twee argumenten, zoals , of met één argument, met , of . De notaties en kunnen, zolang dit geen verwarring geeft, ook door elkaar gebruikt worden, zodat de langere notatie niet nodig is.

Als het domein een cartesisch product is, dan worden en ook wel de domeinen van genoemd. De overige terminologie past zich hierop aan. Men kan bijvoorbeeld zeggen dat een tweeplaatsige afbeelding over en is.

Eigenschappen van afbeeldingen[bewerken]

Beschouw een willekeurige afbeelding .

  • is volledig desda op alle elementen in het domein gedefinieerd is. Dat wil zeggen dat er voor alle een is zodanig dat . Het definitiegebied van een volledige afbeelding is gelijk aan zijn domein: . Als niet volledig is, dan heet een partiële afbeelding. Soms wordt "partiële afbeelding" ook zo gedefinieerd dat alle afbeeldingen partieel genoemd kunnen worden en een volledige afbeelding een speciaal geval van een partiële afbeelding is.
  • is surjectief desda alle elementen uit het codomein een beeld zijn van een element in het domein. Dat wil zeggen dat er voor alle een is zodanig dat . Het bereik van een surjectieve afbeelding is gelijk aan zijn codomein: .
  • is injectief desda geen twee verschillende elementen uit het domein hetzelfde beeld hebben. Dat wil zeggen dat voor alle en geldt: als en dan is . De combinatie van injectiviteit en functionaliteit wordt ook wel eeneenduidigheid genoemd. Omdat afbeeldingen per definitie functioneel zijn, zijn alle injectieve afbeeldingen eeneenduidig. Een injectieve afbeelding wordt soms een een-op-een-afbeelding genoemd.
  • is bijectief desda volledig, surjectief en injectief is. Een bijectieve afbeelding wordt soms een een-op-een-correspondentie genoemd.

Als er op zowel als een topologie gedefinieerd is, dan is ook de volgende eigenschap van gedefinieerd:

  • is continu desda het origineel van elke open deelverzameling van het codomein een open deelverzameling van het domein is. Dat wil zeggen dat voor elke geldt: als open is in , is open in .

Deze eigenschappen zijn ook op meerplaatsige afbeeldingen gedefinieerd, waarbij met "domein" het volledige cartesische product bedoeld wordt. Een drieplaatsige afbeelding is bijvoorbeeld volledig desda er voor alle een is zodanig dat .

Operaties op afbeeldingen[bewerken]

Restrictie en extensie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie ook: Restrictie

Gegeven een willekeurige afbeelding en een deelverzameling van het domein is

de restrictie van tot .[2] Informeel gesproken is de restrictie van een afbeelding het resultaat van het inperken van zijn domein.

Als een restrictie van is, dan heet een extensie van .

Compositie of samenstelling[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie ook: Functie-compositie

Gegeven twee willekeurige afbeeldingen en is

de compositie of samenstelling van en .[3] Informeel betekent dat het resultaat is als eerst op wordt toegepast, en op het resultaat daarvan wordt toegepast.

Voor alle afbeeldingen , en geldt dat

(associativiteit) .

Daarom wordt voor deze samenstelling meestal simpelweg geschreven.

Inverse[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie ook: Inverse

Als een injectieve afbeelding is, en , dan is de afbeelding

de inverse van . Als , is .

Als een volledige afbeelding is, kan, ter definitie, ook geschreven worden dat de inverse van is, als voor alle en geldt:

desda [4]

De inverse van beeldt ieder element uit de beeldverzameling van af op het element (uit het definitiegebied van ) waarvan het een beeld is. Met andere woorden, als afbeeldt op , dan beeldt af op .

Als , dan wordt het inverse beeld van genoemd. Soms wordt hier ook op ambigue wijze van "het origineel van " gesproken, wat daarmee dan zowel de betekenis als heeft.

Wanneer enkel volledige afbeeldingen beschouwd worden, moet een afbeelding bijectief zijn om een (volledige) inverse te hebben.

Laat een injectieve afbeelding zijn.

  • Het definitiegebied van is de beeldverzameling van .
  • De beeldverzameling van is het definitiegebied van .
  • Als volledig is, dan is surjectief.
  • Als surjectief is, dan is volledig.
  • De inverse is injectief (omdat functioneel is).
  • Als bijectief is, dan is ook bijectief.
  • .

Identieke afbeelding[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie ook: Identieke afbeelding

Op iedere verzameling is een afbeelding te definiëren die elk element op zichzelf afbeeldt. Deze afbeelding heet de identieke afbeelding van die verzameling. De formele definitie luidt:

Voor een willekeurige verzameling is de afbeelding

met

de identieke afbeelding van .

Elke identieke afbeelding is bijectief.

Voor iedere injectieve afbeelding geldt:

  • als volledig is, is ;
  • als surjectief is, is .

Operatie[bewerken]

In sommige contexten wordt een afbeelding een operatie genoemd. Een operatie is dus hetzelfde als een afbeelding. Meestal —  maar niet altijd —  impliceert het gebruik van het woord "operatie" echter dat het domein en het codomein dezelfde verzamelingen zijn of, in het geval van -plaatsige operaties, dat het domein een -dimensionaal cartesisch product van het codomein is. Optelllen en vermenigvuldigen van reële getallen zijn voorbeelden van operaties:

Het symbool waarmee een operatie aangeduid wordt, heet de operator en de argumenten van een operatie worden operanden genoemd. Bij tweeplaatsige operaties wordt de operator gewoonlijk tussen de operanden in geschreven. Dit heet infixnotatie. Met name bij tweeplaatsige operaties heeft de term "operatie" ook een algebraïsche connotatie. Men spreekt bijvoorbeeld van associatieve en commutatieve operaties of definieert op algebraïsche wijze equivalentie tussen uitdrukkingen met bepaalde operaties erin.

Optelling is een voorbeeld van een operatie op getallen. Deze operatie wordt doorgaans als tweeplaatsige operatie gedefinieerd en de gebruikelijke operator + wordt normaal gesproken dan ook tussen de operanden in geschreven.

In dit artikel staan ook enkele voorbeelden beschreven van operaties op afbeeldingen. Zo is compositie een tweeplaatsige operatie op afbeeldingen, met ∘ als operator. Het bepalen van de inverse van een afbeelding is een eenplaatsige operatie op afbeeldingen en het symbool kan opgevat worden als een operator die in suffixnotatie geschreven wordt.

Volledige afbeelding[bewerken]

Het komt veel voor dat alleen volledige afbeeldingen beschouwd worden en het wenselijk geacht wordt dat afbeelding als zodanig gedefinieerd wordt. Vaak wordt dan een extra voorwaarde aan de definitie toegevoegd, wat de volgende definitie oplevert.

Voor willekeurige verzamelingen A en B is α = (G, A, B) een afbeelding desda:

  1. G ⊆ A × B
  2. (functionaliteit) Voor alle a ∈ A en b1b2 ∈ B geldt: als (a, b1) ∈ G en (a, b2) ∈ G dan b1 = b2
  3. (volledigheid) Voor alle a ∈ A is er een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G.

Een ander gangbaar alternatief is de volgende definitie.

Voor een willekeurige verzameling B is α = (G, B) een afbeelding desda:

  1. G is een willekeurige verzameling geordende paren, waarbij voor alle (a, b) ∈ G geldt dat b ∈ B
  2. (functionaliteit) Voor alle (a1, b1) ∈ G en (a2, b2) ∈ G geldt: als a1 = a2 dan b1 = b2.

Onder deze definitie is het vervolgens gebruikelijk om het domein te definiëren als de verzameling van alle punten waarop de afbeelding gedefinieerd is: dom α = { a |  er is een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G }. Daarmee is de afbeelding per definitie op alle elementen uit het domein gedefinieerd en dus volledig. "Definitiegebied" en "domein" zijn in deze lezing synoniem. Wanneer het domein aldus gedefinieerd wordt, moet expliciet genoemd worden of uit de context blijken uit welke verzameling de linker leden van de paren in G komen.

Onder beide definities is het niet mogelijk om van een partiële afbeelding te spreken, aangezien afbeeldingen per definitie volledig zijn. Meestal wordt dit opgelost door partiële afbeelding apart te definiëren, op ongeveer dezelfde wijze als afbeelding in dit artikel gedefinieerd is. In dat geval is een afbeelding dus een specifiek geval van een partiële afbeelding, in plaats van andersom, en is het zinnig om van een volledige partiële afbeelding te spreken. Partiële afbeelding kan ook in engere zin gedefinieerd worden, zodanig dat partiële afbeeldingen per definitie niet volledig zijn en de begrippen (volledige) afbeelding en partiële afbeelding dus disjunct zijn. In dat geval is er echter geen intuïtieve overkoepelende term die zowel partiële als volledige afbeeldingen omvat.[5]

De overige begrippen en notaties worden onder deze definities, mutatis mutandis, op dezelfde manier gedefinieerd als eerder in dit artikel. Ook kan de volgorde van de leden van het tupel in de laatste definitie, net als het 3-tupel bij de eerdere definities, afwijken. Soms wordt de afbeelding als het tupel (B, G) gedefinieerd, in plaats van als het tupel (G, B).

Een andere in de literatuur gebruikte manier om het onderwerp te beperken tot volledige afbeeldingen, is door een zin toe te voegen als:

Met "afbeelding" zal een volledige afbeelding bedoeld worden, tenzij uit de context anders blijkt.

Afbeeldingen kunnen dan in algemene, brede zin gedefinieerd worden, terwijl ze toch impliciet volledig zullen zijn. Desgewenst kan op deze manier over partiële afbeeldingen gesproken worden, door ze expliciet zo te noemen. Bovendien is een partiële afbeelding in dit geval een specifiek geval van een afbeelding, in plaats van andersom.

Afbeelding versus functie[bewerken]

Gewoonlijk onderscheidt de afbeelding zich van de functie doordat de afbeelding een fundamenteler (en jonger) begrip is. Functies zijn in deze lezing een speciaal soort afbeeldingen, namelijk afbeeldingen die getallen opleveren of, preciezer geformuleerd, afbeeldingen waarvan het codomein een lichaam (ook wel veld) is.

Vaak worden "functie" en "afbeelding" echter ook als synoniemen gebruikt. Meestal worden beide dan in verzamelingtheoretische termen gedefinieerd, min of meer gelijk aan de definitie in dit artikel.

Het komt ook voor dat "functie" en "afbeelding" niet synoniem zijn, maar dat de functie gedefinieerd wordt zoals de afbeelding in dit artikel en dat met "afbeelding" een specifiek soort functie bedoeld wordt. In deze lezing kan met "afbeelding" onder andere volledige functie, volledige en injectieve functie, lineaire functie of continue functie bedoeld worden. Dit gebruik van de woorden "functie" en "afbeelding" is vooral in de Angelsaksische literatuur gebruikelijk.

Zie ook[bewerken]