Driehoeksongelijkheid

De driehoeksongelijkheid zegt dat een lijnstuk de kortste afstand tussen twee punten bepaalt. Gaat men via een omweg over het punt $P$ van het punt $A$ naar het punt $B$ dan is de afstand langer dan wanneer men direct over het lijnstuk $l$ van $A$ naar $B$ gaat. Als $P$ op $l$ ligt maakt het geen verschil.

Meetkunde

Voor elk drietal punten $A,B$ en $P$ in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met $\mathrm {|AB|}$ de afstand tussen $A$ en $B$:

$\mathrm {|AB|<|AP|+|BP|}$

Als $A,B$ en $P$ op één lijn liggen en $P$ tussen $A$ en $B$ ligt, geldt

$\mathrm {|AB|=|AP|+|BP|}$

Vectorruimte

Eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

$\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|$

voor alle vectoren $\mathbf {x}$ en $\mathbf {y}$.

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de L^p-norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |$ die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |=|\mathbf {x} -\mathbf {z} +\mathbf {z} -\mathbf {y} |\leq |\mathbf {x} -\mathbf {z} |+|\mathbf {z} -\mathbf {y} |=d(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+d(\mathbf {z} ,\mathbf {y} )$

Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ is gegeven, wordt door de definitie

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

$\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +2{\hbox{Re}}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +2{\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}{\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}+\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =\left({\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}+{\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\right)^{2}$

Tweede, ook wel omgekeerde, driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op $\mathbf {u} =(\mathbf {u} -\mathbf {v} )+\mathbf {v}$ geeft:

$\|(\mathbf {u} -\mathbf {v} )+\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|$

dus

$\|\mathbf {u} \|-\|\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|$

Toepassen op $\mathbf {v} =(\mathbf {v} -\mathbf {u} )+\mathbf {u}$ geeft bovendien:

$\|(\mathbf {v} -\mathbf {u} )+\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} -\mathbf {u} \|+\|\mathbf {u} \|$

dus

$\|\mathbf {v} \|-\|\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} -\mathbf {u} \|$

maar dan ook:

$\|\mathbf {u} \|-\|\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {v} -\mathbf {u} \|$

dus

${\bigg |}\|\mathbf {u} \|-\|\mathbf {v} \|{\bigg |}\leq \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|$

Abstract

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling $V$ geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische afstandsfunctie die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.