Driehoeksongelijkheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
APB.PNG
Linia APB.svg

De driehoeksongelijkheid zegt dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn is. Gaat men via een omweg over het punt P van het punt A naar het punt B, de naam zegt het al, dan is de afstand langer dan wanneer men direct in een rechte lijn gaat. Wanneer P op de lijn tussen A en B ligt maakt het natuurlijk niets uit.

Meetkundige interpretatie[bewerken]

Voor elk drietal punten A,B,P in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt met | AB | de afstand tussen A en B:

\!|AB|<|AP|+|BP|

Als A, B, P op één lijn liggen en P bevindt zich tussen A en B, geldt

\!|AB|=|AP|+|BP|

Driehoeksongelijkheid in een algemene vectorruimte[bewerken]

De eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert y\Vert     voor alle vectoren x en y

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de Lp-norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand d(x,y) = |x-y| die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

d(x,y)= |x-y| = |x-z + z-y| \leq |x-z| + |z-y| = d(x,z) + d(z,y) .


Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product \langle \cdot,\cdot \rangle gegeven is, wordt door de definitie

\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle+2\hbox{Re}\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle \leq \langle x,x\rangle+2\sqrt{\langle x,x\rangle}\sqrt{\langle y,y\rangle}+\langle y,y\rangle =\left(\sqrt{\langle x,x\rangle}+\sqrt{\langle y,y\rangle}\right)^2.
De tweede driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op u=(u-v)+v (of v=(v-u)+u) geeft:

\|(u-v)+v\| \leq \|u-v\| + \|v\|

dus

\|u\| -\|v\| \leq \| u-v\|

en dus ook:

|\, \| u\|-\| v\|\,| \leq \|u-v\|

Abstracte versie[bewerken]

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling V geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische "afstandsfunctie" die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.