Driehoeksongelijkheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
APB.PNG
Linia APB.svg

De driehoeksongelijkheid zegt dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn is. Gaat men via een omweg over het punt P van het punt A naar het punt B, de naam zegt het al, dan is de afstand langer dan wanneer men direct in een rechte lijn gaat. Wanneer P op de lijn tussen A en B ligt maakt het natuurlijk niets uit.

Meetkundige interpretatie[bewerken]

Voor elk drietal punten A,B en P in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met de afstand tussen A en B:

Als A, B en P op één lijn liggen en P bevindt zich tussen A en B, geldt

Driehoeksongelijkheid in een algemene vectorruimte[bewerken]

De eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

    voor alle vectoren x en y

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de Lp-norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

.


Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product gegeven is, wordt door de definitie

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

De tweede driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op (of ) geeft:

dus

en dus ook:

Abstracte versie[bewerken]

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische "afstandsfunctie" die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.