Ongelijkheid van Minkowski

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De ongelijkheid van Minkowski - genoemd naar de Joods-Duitse wiskundige Hermann Minkowski - is een stelling in de functionaalanalyse die zegt dat in de Lp-ruimten de driehoeksongelijkheid geldt. Bijgevolg zijn deze ruimten genormeerde vectorruimten

Stelling[bewerken]

Laat een maatruimte zijn en . Voor de functies geldt dat en

Als is er precies dan gelijkheid als en positief linear afhankelijk zijn (d.w.z voor een zekere ).

Bewijs

De ongelijkheid is triviaal voor en . Zij nu . De afbeelding is een convexe functie, daarom is:

en dus is .

Zonder verlies van algemeenheid kan verondersteld worden dat . Er geldt dan:

Laat , dan is de geconjugeerde index van , en is

Volgens de ongelijkheid van Hölder is:

Na vermenigvuldiging van beide zijden met volgt hieruit de ongelijkheid van Minkowski.

Speciaal geval[bewerken]

Voor het speciale geval van eindige rijen van reële of complexe getallen, met als maat de telmaat, ziet de ongelijkheid er als volgt uit:

Dit is de driehoeksongelijkheid voor de p-norm.

Ook voor oneindige rijen kan de ongelijkheid geformuleerd worden:

Literatuur[bewerken]

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, ISBN 3-7643-6613-3