Rij (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van een oneindige rij die niet stijgend, niet dalend en niet convergerend, maar wel begrensd is

In de wiskunde is een rij een opeenvolging van objecten, elementen of termen van de rij genoemd. Vaak worden de elementen genummerd, met als nummer steeds een geheel getal, en wel opeenvolgend en oplopend. Het nummer van een element in een rij wordt meestal als index genoteerd. Een rij kan uit eindig of aftelbaar oneindig veel elementen bestaan. De objecten die in een rij kunnen staan, zijn net zo algemeen als de elementen van een verzameling en een object kan meer dan één keer als element voorkomen. Voor een eindige rij nummert men gewoonlijk met de getallen 1 tot en met een zekere N, hoewel de index van het eerste element soms ook anders gekozen wordt. De elementen van een oneindige rij met een eerste element worden gewoonlijk genummerd met de getallen 1, 2, ... Ook in dit geval wordt als eerste index wel een ander getal gekozen. Een oneindige rij zonder eerste element, maar wel een laatste, nummert men met de gehele getallen, vaak tot en met 0. Is er noch een eerste element, noch een laatste, dan vindt de nummering plaats met de gehele getallen.

Een eindige rij met N elementen wordt meestal weergegeven als

(a_1, a_2, \ldots, a_N),

een oneindige rij met eerste element als

(a_1, a_2, a_3, \ldots), of als (a_n)_{n=1}^\infty,

een oneindige rij zonder eerste element, maar wel een laatste als

(\ldots,a_{-2}, a_{-1}, a_0)=(a_{n})_{n=-\infty}^0

en een rij zonder eerste en laatste element als

(\ldots,a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)=(a_n)_{n=-\infty}^\infty=(a_n)_{n\in\Z}

Formeel[bewerken]

Een oneindige rij met eerste element is een afbeelding met domein {1, 2, 3, ...}. Het argument is het rangnummer. Een eindige rij van k elementen is een afbeelding met domein {1, 2, 3, ..., k}, zie ook tupel. Een oneindige rij met laatste element is een afbeelding met domein {..., -2, -1, 0}. Een tweezijdig oneindige rij is een afbeelding met domein \Z. Met een rij in V wordt bedoeld dat het codomein V is. De beelden worden elementen van de rij genoemd. De afbeelding hoeft niet injectief te zijn, dat wil zeggen dat een element van V meer dan één keer in de rij kan voorkomen.

Een rij wordt wel genoteerd als (a_n)_{n=M}^N, inclusief de mogelijkheid M=-\infty en/of N=\infty, en waarbij N - M ≥ -1. In het geval van een oneindige rij met eerste element, met r de betreffende afbeelding, geldt dan a_n=r(n-M+1). Op de plaats van a_n kan ook expliciet een uitdrukking in n staan. Zo is er bijvoorbeeld de rij (n^2)_{n=3}^\infty, die onder meer ook genoteerd kan worden ((n+2)^2)_{n=1}^\infty. Als de eerste elementen van een rij al suggereren hoe die verder gaat, en dat inderdaad het geval is, wordt een rij ook wel genoteerd door opsomming van die eerste elementen, gevolgd door puntjes. Zo kan de genoemde voorbeeldrij ook genoteerd worden (9, 16, 25, ...). Bij een tweezijdig oneindige rij (dus een afbeelding met domein \Z) wordt, indien niet anders aangegeven, met de variabele buiten de haakjes het argument van de afbeelding bedoeld. (n^2)_{n=-\infty}^\infty is dus een andere tweezijdig oneindige rij dan ((n+2)^2)_{n=-\infty}^\infty. Een notatie als (..., -4, -1, 0, 1, 4, ...) is niet eenduidig, omdat er niet uit blijkt bij welk element het argument 0 is.

In plaats van de notatie (a_n)_{n=M}^\infty wordt ook wel de notatie (a_n)_{n\ge M} gebruikt.

Het is gebruikelijk de vermelding van het bereik van de index weg te laten als dit uit de context duidelijk is of geen belangrijke rol speelt; dat leidt tot de notatie (a_n). De ook veelvuldig voorkomende notatie met accoladen, zoals in \{a_n\}, is minder geschikt te achten, daar deze de ordening van de verzameling niet duidelijk toont.

Vaak zijn de elementen van V, en dus van de rij, gewoon getallen, maar het kunnen ook andere objecten zijn, zoals vectoren, matrices, functies, verzamelingen, stochastische variabelen, enz., en zelfs objecten buiten de wiskunde.

De verzameling rijen in een verzameling V wordt genoteerd V^\infty (de elementen van een rij zijn de componenten van de vector). Als V een vectorruimte is, is V^\infty dat ook, met componentsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Een voorbeeld is \R^\infty.

Voorbeelden[bewerken]

Een eenvoudig voorbeeld van een rij is (x_n)_{n=1}^\infty met x_n=n^2, dat wil zeggen de rij ( 1, 4, 9, 16, 25, \ldots ).

Dit is een getallenrij, waarin bijvoorbeeld x_2 = 4 en x_6 = 36. We vinden het element met nummer 32 uit de rij door te berekenen:

x_{32}=32^2=1024.

Een bekend voorbeeld van een recursief gedefinieerde rij is de rij van Fibonacci, (f_n)_{n=1}^\infty, gedefinieerd door f_1 = 1, f_2 = 1 en f_{n} = f_{n-2}+f_{n-1} voor elke n>2. Merk op dat er twee beginwaarden moeten worden gegeven om het recursieve proces op gang te krijgen.

Niet voor elke getallenrij bestaat een wiskundige formule waarmee men een element kan uitrekenen. Het bekendste voorbeeld hiervan is de rij van priemgetallen, waarvan element n slechts beschreven kan worden als het n-de priemgetal.

Een voorbeeld van een rij met elementen buiten de wiskunde is de (eindige) rij, beginnend met een bepaald persoon en verder bestaande uit mannelijke personen, waarin elk volgend element de vader is van het vorige.

Enkele voorbeelden van getalrijen met speciale eigenschappen zijn:

Convergentie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Convergentie (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Vaak zal men van oneindige rijen willen weten of een gegeven rij een limiet heeft. Is er zo'n limiet dan heet de rij convergent, anders divergent.

De rijen uit de vorige paragraaf zijn beide divergent, omdat de elementen uit de rij onbeperkt groter worden naarmate men verder in de rij gaat. Een voorbeeld van een convergente rij is de rij

(y_n) = 1, \tfrac12, \tfrac13, \tfrac14, \tfrac15, \ldots ,

dus met

 y_n=\tfrac1n .

Deze rij convergeert naar het getal 0, omdat de getallen uit de rij willekeurig dicht bij het getal 0 komen. Men noteert

\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0.

Divergentie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Divergentie (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als een rij niet convergeert dan divergeert hij.[1] Voor een divergente rij zijn er de volgende mogelijkheden.

Als de rij uit reële getallen bestaat
  • De elementen van de rij worden onbeperkt groot en convergeren derhalve niet naar een bepaalde waarde.
    • Bijvoorbeeld: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., dus a_n=n\quad(n=1, 2, \ldots).
      • De rij is divergent naar oneindig.
  • De elementen van de rij worden onbeperkt kleiner, zonder naar een bepaalde waarde te convergeren.
    • Bijvoorbeeld: -1, -2, -4, -8, -16, -32, ..., dus a_n=-2^n\quad(n=0, 1, \ldots).
      • De rij divergeert nu naar min oneindig.
  • De rij gaat niet naar oneindig, en niet naar min oneindig.
    • Bijvoorbeeld: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., dus a_n=(-1)^n\quad(n=0, 1, \ldots).
      • Nu zeggen we simpelweg dat de rij divergeert.
Als de rij uit elementen van een willekeurige metrische ruimte V bestaat.
  • De rij is geen cauchyrij, de rij divergeert.
  • De rij is een cauchyrij, maar de elementen van de rij naderen naar een buiten V gelegen waarde. De rij heeft geen limiet in V.
    • Bijvoorbeeld: V is het reële interval (0,\infty) en de rij is 1, \tfrac12, \tfrac13, \tfrac14, \ldots

Monotonie[bewerken]

Men noemt een rij (mits de elementen vergelijkbaar zijn, zoals bij reële getallen) monotoon stijgend (of niet-dalend) als elk element uit de rij groter dan of gelijk is aan het voorgaande element. Andersom heet de rij monotoon dalend (of niet-stijgend) als elk element kleiner dan of gelijk is aan het voorgaande. Alle rijen die tot nu toe als voorbeeld zijn behandeld ((x_n), (f_n) en (y_n )), zijn monotone rijen: de eerste en de tweede zijn monotoon stijgend, de derde monotoon dalend. Daarentegen is de volgende rij monotoon stijgend noch monotoon dalend:

(z_n ) = 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, \ldots.

Deze rij is alternerend, dit betekent dat de elementen steeds van teken verschillen. De rij is convergent, namelijk naar 0.

Begrensdheid[bewerken]

Men noemt een rij (mits de elementen vergelijkbaar zijn, zoals bij reële getallen) naar boven begrensd als er een bovengrens bestaat, een waarde die door geen enkel element wordt overschreden; op soortgelijke wijze definieert men het begrip naar beneden begrensd. Een rij die zowel naar boven als naar beneden begrensd is noemt men begrensd. De voorbeeldrijen (x_n) en (f_n) zijn wel naar beneden (door de benedengrens 1, maar ook 0 of zelfs -6, mits maar klein genoeg), maar niet naar boven begrensd, en de voorbeeldrij (y_n) heeft als (grootste) benedengrens 0 en als (kleinste) bovengrens 1. Deze rij is dus begrensd, en de laatste voorbeeldrij (z_n) eveneens.

Monotone-convergentiestelling[bewerken]

Elke stijgende, naar boven begrensde rij heeft een limiet (die niet groter is dan de kleinste bovengrens) en elke dalende, naar beneden begrensde rij evenzo (de limiet is niet kleiner dan de grootste benedengrens).

Topologische ruimten met oneindig als element[bewerken]

In \overline{\R} en \widehat{\mathbb{R}} (zie topologische ruimten met oneindig als element) geldt voor een rij met een oneindige limiet (net als voor een rij met een eindige limiet) dat deze rij convergent is.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  1. Wiskunde: Voortgezette Analyse, blz. 5, Def. 1.1.1, Vrije Universiteit Brussel