Injectie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Injectief)
Ga naar: navigatie, zoeken
Een injectieve, niet surjectieve functie

In de wiskunde is een injectie of injectieve afbeelding, ook eeneenduidige afbeelding of een-op-een-afbeelding genoemd, een afbeelding, waarbij geen twee (verschillende) elementen hetzelfde beeld hebben, dus anders gezegd elk beeld een uniek origineel heeft.

De term 'injectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie[bewerken]

De afbeelding heet een injectie of injectieve afbeelding als voor alle geldt:

Voorbeeld en tegenvoorbeeld[bewerken]

  • Beschouw de afbeelding , gedefinieerd door . Deze afbeelding is injectief, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van en : , volgt dat de originelen en gelijk zijn.
  • Beschouw daarentegen de afbeelding , gedefinieerd door . Deze is niet injectief, omdat bijvoorbeeld en er dus verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

Eigenschappen[bewerken]

  • Zijn twee functies en injectief, dan geldt dit ook voor de samengestelde functie .
  • Uit de injectiviteit van volgt dat injectief is.
  • Een functie is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling en ieder tweetal functies de implicatie geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de monomorfismen precies de injectieve functies zijn.
  • Een functie is injectief dan en slechts dan als zij een linksinverse heeft, dat wil zeggen een functie met de eigenschap dat (hier wordt met de identiteitsfunctie bedoeld).
  • Als injectief is, dan is de co-restrictie (dat wil zeggen dezelfde functie, alleen het codomein is vervangen door het beeld ) bijectief.
  • Voor twee verzamelingen en wordt de notatie wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie bestaat. In dit geval heeft minstens evenveel elementen als ; voor oneindige verzamelingen wordt dit precies gemaakt met het begrip kardinaliteit. Als er twee injecties en bestaan, garandeert de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder dat er eveneens een bijectie tussen en bestaat.

Zie ook[bewerken]