Equivalente rijen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Equivalente rijen zijn rijen waarvan vanaf een bepaald rangnummer, de afstand tussen overeenkomstige elementen in de twee rijen willekeurig klein wordt.

Definitie[bewerken]

Stel (X,d) is een metrische ruimte. Twee rijen en in X heten equivalent als . Dit wordt vaak genoteerd met . Formeel kunnen we de definitie als volgt noteren:

Dit betekent dat voor elke gewenste nauwkeurigheidsgraad ε er een rangnummer kan worden gevonden, waarvoor geldt dat voor elk groter rangnummer de overeenkomstige elementen uit de rijen dichter bij elkaar liggen dan ε.

Eigenschappen[bewerken]

  • Twee rijen en die convergeren naar een gemeenschappelijke limiet, zijn equivalent. Omgekeerd, als en equivalent zijn, geldt
  • Twee equivalente rijen en worden door een uniform continue functie f afgebeeld op twee ook equivalente rijen en . Deze eigenschap wordt in de praktijk vaak gebruikt om aan te tonen dat een functie niet uniform continu is (met andere woorden men zoekt vaak twee equivalente rijen die door de bestudeerde functie niet worden afgebeeld op equivalente rijen). Let wel op de logische implicaties: Als f uniform continu is, dan bewaart ze de equivalentie van rijen. Als twee equivalente rijen door een functie f worden afgebeeld op twee equivalente rijen, geeft dit geen uitsluitsel over de uniforme continuïteit van die functie.

Voorbeeld[bewerken]

De rijen en zijn equivalent, want ze convergeren naar dezelfde limiet 1.