Uniforme continuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde heet een functie uniform continu op een interval als de functie continu is, dus als kleine veranderingen van het argument eveneens kleine veranderingen van het beeld tot gevolg hebben, en er een begrenzing van de mate van die veranderingen is die niet afhangt van de waarde van . Uniforme continuïteit is een globale eigenschap van een functie op een interval, in tegenstelling tot gewone continuïteit die de functie lokaal beschrijft en dus wel afhankelijk mag zijn van .

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een functie van de metrische ruimte met metriek in de metrische ruimte met metriek heet uniform continu als er voor elk reëel getal een getal bestaat zodanig dat voor alle met geldt dat .

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • Elke uniforme continue functie is continu, maar niet andersom. Zo is wel continu maar niet uniform continu.
  • Elke continue functie over een gesloten en begrensd gebied (compactum) is zelf begrensd en uniform continu over (Stelling van Heine-Cantor).
  • Elke absoluut continue functie is ook uniform continu.
  • Elke lipschitz-continue functie is ook uniform continu.
  • Een uniform continue functie beeldt equivalente rijen af op equivalente rijen. Formeel betekent dit dat als een uniform continue functie is en en twee equivalente rijen, en ook equivalent zijn. Het tegendeel wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat een functie niet uniform continu is. Let wel op, als een functie twee equivalente rijen afbeeldt op twee equivalente rijen, geeft dit geen uitsluitsel over het uniform continue karakter van
  • Een uniform continue functie beeldt een cauchyrij af op een cauchyrij.
  • De samenstelling van uniform continue functies is opnieuw uniform continu.