Uniforme continuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde spreekt men van een uniform continue functie indien kleine veranderingen van het argument x eveneens kleine veranderingen van het beeld f(x) tot gevolg hebben. Bovendien mag de grootte van de verandering van f(x) enkel afhangen van de grootte van de verandering in x en niet van de waarde van x zelf. Bijgevolg is uniforme continuïteit eerder een globale eigenschap van een functie op een interval, in tegenstelling tot gewone continuïteit die de functie lokaal beschrijft en dus wel afhankelijk mag zijn van x.

Definitie[bewerken]

Formeel kan men uniforme continuïteit definiëren met behulp van een zogenaamde `epsilon-delta'-definitie.

Een functie f : V → W tussen metrische ruimten heet uniform continu als er voor elk reëel getal ε > 0 een ander getal δ > 0 bestaat zodanig dat voor alle x, y in V met d(x,y) < δ geldt dat d(f(x),f(y)) < ε.

Eigenschappen[bewerken]

  • Elke uniforme continue functie is continu, maar niet andersom. Zo is f:\left( {0,1} \right) \to \mathbb{R}:x \mapsto 1/x wel continu maar niet uniform continu.
  • Elke continue functie f over een gesloten en begrensd gebied (compactum) G is zelf begrensd en uniform continu over G.
  • Elke absoluut continue functie is ook uniform continu.
  • Elke Lipschitz-continue functie is ook uniform continu.
  • Een uniform continue functie beeldt equivalente rijen af op equivalente rijen. Formeel betekent dit dat als f : V → W een uniform continue functie is en (x_n)_n en (y_n)_n twee equivalente rijen, (f(x_n))_n en (fy_n))_n ook equivalent zijn. Het tegendeel wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat een functie niet uniform continu is. Let wel op, als een functie f twee equivalente rijen afbeeldt op twee equivalente rijen, geeft dit geen uitsluitsel over het uniform continue karakter van f
  • Een uniform continue functie beeldt een Cauchyrij af op een Cauchyrij.
  • De samenstelling van uniform continue functies is opnieuw uniform continu.