Absolute continuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige analyse wordt de term absolute continuïteit zowel voor functies als voor maten gebruikt. Beide begrippen zijn nauw met elkaar verwant in de context van de Lebesgue-maat op .

Absoluut continue functie[bewerken]

Een reëelwaardige functie f heet absoluut continu als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zo, dat voor elke rij paarsgewijs disjuncte intervallen [xk, yk], k = 1, ..., n die voldoet aan

geldt:

Eigenschappen[bewerken]

Elke absoluut continue functie is ook uniform continu en daarom tevens continu. Elke Lipschitz-continue functie is absoluut continu.

De Cantor-functie is overal continu, maar niet absoluut continu.

Absoluut continue maat[bewerken]

Zij een meetbare ruimte, en zijn en twee maten op die ruimte. Dan heet absoluut continu ten opzichte van , genoteerd , als elke nulverzameling voor ook een nulverzameling is voor :

Voorbeelden[bewerken]

Zij een niet-negatieve Lebesgue-integreerbare functie. De maat , gedefinieerd door het voorschrift

is absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat.

De Dirac-maat , die aan Lebesgue-meetbare verzamelingen de waarde 1 of 0 toekent naargelang de verzameling het getal 0 bevat of niet, is niet absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat.

Verband tussen de twee begrippen[bewerken]

Een maat op de reële getallen is absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat dan en slechts dan als haar verdelingsfunctie

een absoluut continue functie is.

Stelling van Radon-Nikodym[bewerken]

Als en eindige maten zijn op een meetbare ruimte , en , dan bestaat er een -integreerbare reële functie op met de eigenschap dat

In de kansrekening wordt deze stelling als volgt geïnterpreteerd: als de verdelingsmaat van een stochastische variabele absoluut continu is ten opzichte van de Lebesgue-maat, dan heeft de veranderlijke een kansdichtheid. We spreken dan van een continue stochastische variabele.

Als niet absoluut continu is ten opzichte van , dan kan ze op unieke wijze gesplitst worden in een absoluut continu en een singulier gedeelte, zie wederzijds singuliere maten.