Absolute continuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de wiskundige analyse wordt de term absolute continuïteit zowel voor functies als voor maten gebruikt. Beide begrippen zijn nauw met elkaar verwant in de context van de Lebesgue-maat op .

Absoluut continue functie[bewerken]

Een reëelwaardige functie heet absoluut continu als voor elke er een bestaat, zodanig dat voor elke rij paarsgewijs disjuncte intervallen die voldoet aan

geldt:

Eigenschappen[bewerken]

Elke absoluut continue functie is ook uniform continu en daarom tevens continu. Elke Lipschitz-continue functie is absoluut continu.

De Cantorfunctie is overal continu, maar niet absoluut continu.

Absoluut continue maat[bewerken]

Zij een meetbare ruimte, en en twee maten op die ruimte. Dan heet absoluut continu ten opzichte van , genoteerd , als elke nulverzameling voor ook een nulverzameling is voor , dus als voor elke

Voorbeelden[bewerken]

Zij een niet-negatieve Lebesgue-integreerbare functie. De maat , gedefinieerd door het voorschrift

is absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat.

De Dirac-maat , die aan Lebesgue-meetbare verzamelingen de waarde 1 of 0 toekent naargelang de verzameling het getal 0 bevat of niet, is niet absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat.

Verband tussen de twee begrippen[bewerken]

Een maat op de reële getallen is absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat dan en slechts dan als haar verdelingsfunctie

een absoluut continue functie is.

Stelling van Radon-Nikodym[bewerken]

Als en eindige maten zijn op een meetbare ruimte , en , dan bestaat er een -integreerbare reële functie op met de eigenschap dat voor elke geldt:

In de kansrekening wordt deze stelling als volgt geïnterpreteerd: als de verdelingsmaat van een stochastische variabele absoluut continu is ten opzichte van de Lebesgue-maat, dan heeft de veranderlijke een kansdichtheid. We spreken dan van een continue stochastische variabele.

Als niet absoluut continu is ten opzichte van , dan kan ze op unieke wijze gesplitst worden in een absoluut continu en een singulier gedeelte, zie wederzijds singuliere maten.