Lebesgue-maat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Lebesgue-maat, vernoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue, de standaard manier om een lengte, een oppervlak of een volume aan deelverzamelingen van de Euclidische ruimte toe te kennen. Het begrip wordt door de gehele reële analyse gebruikt, in het bijzonder om de Lebesgue-integratie te definiëren. Verzamelingen waaraan een volume kan worden toegekend, worden Lebesgue-meetbaar genoemd; het volume of de maat van een Lebesgue-meetbare verzameling A wordt aangegeven door λ(A). Een Lebesgue-maat kan zijn, en ook zijn er onder de veronderstelling van het keuzeaxioma niet-meetbare verzamelingen, waaronder deelverzamelingen van een reëel interval.

Het "vreemde" gedrag van niet-meetbare verzamelingen wordt geïllustreerd door de Banach-Tarskiparadox.

De Lebesgue-maat wordt vaak aangeduid met dx, maar dit moet niet worden verward met de hiervan verschillende notie van een volumeformule.

Geschiedenis[bewerken]

Henri Lebesgue beschreef de Lebesgue-maat in 1901. Het jaar daarna beschreef hij de Lebesgue-integraal. Beide beschrijvingen werden in 1902 als onderdeel van zijn proefschrift gepubliceerd. [1]

Voorbeelden[bewerken]

Eigenschappen[bewerken]

De Lebesgue-maat op Rn heeft de volgende eigenschappen:

  1. Als A een cartesisch product van interval I1 × I2 × ... × In is, dan is A Lebesgue-meetbaar en is \lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|. Hier staat |I| voor de lengte van het interval I.
  2. Als A een disjuncte vereniging van eindig vele of telbaar vele disjuncte Lebesgue-meetbare verzamelingen, dan is A zelf Lebesgue-meetbaar en is λ(A) gelijk aan de som (of oneindige reeks) van de maten van de betrokken meetbare verzamelingen.
  3. Als A Lebesgue-meetbaar is, dan is het complement van A dit ook.
  4. λ(A) ≥ 0 voor elke Lebesgue-meetbare verzameling A.
  5. Als A en B Lebesgue-meetbaar zijn en A is een deelverzameling van B, dan is λ(A) ≤ λ(B). Dit volgt uit 2, 3 en 4.
  6. Telbare verenigingen en doorsnedes van Lebesgue-meetbare verzamelingen zijn Lebesgue-meetbaar. Dit volgt niet uit 2 en 3, omdat een familie van verzamelingen die is gesloten onder complementen en disjuncte telbare verenigingen niet gesloten hoeft te zijn onder telbare verenigingen \{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}.
  7. Als A een open of gesloten deelverzameling van Rn is (of zelfs een Borel-verzameling, zie metrische ruimte), dan is A Lebesgue-meetbaar.
  8. Als A een Lebesgue-meetbare verzameling is, dan is A "bij benadering open" en "bij benadering gesloten" in de zin van een Lebesgue-maat (zie de regelmatigheidssteling voor de Lebesgue-maat).
  9. Een Lebesgue-maat is zowel een lokaal eindige als een inwendig regelmatige maat, en is dus een Radon-maat.
  10. Een Lebesgue-maat is strikt positief op een niet-lege open verzameling, en daarom is de drager het geheel van Rn.
  11. Als A een Lebesgue-meetbare verzameling is met λ(A) = 0 (een nulverzameling), dan is elke deelverzameling van A ook een nulverzameling. A fortiori is elke deelverzameling van A meetbaar.
  12. Als A Lebesgue-meetbaar is en x is een element van Rn, dan is de translatie van A door x, gedefinieerd door A + x = {a + x :aA) ook Lebesgue-meetbaar en heeft deze dezelfde maat als A.
  13. Als A Lebesgue-meetbaar is en \delta>0, dan is de uitzetting van A door \delta gedefinieerd door \delta A=\{\delta x:x\in A\} ook Lebesgue-meetbaar en heeft deze de maat \delta^{n}\lambda\,(A).
  14. Meer in het algemeen, als T een lineaire transformatie is en A is een meetbare deelverzameling van Rn, dan is T(A) ook Lebesgue-meetbaar en heeft T de maat |\det(T)|\, \lambda\,(A).

De veertien bovenstaande punten kunnen als volgt beknopt worden samengevat:

"De Lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra die alle producten van intervallen bevat en waar λ de unieke volledige translatie-invariante maat is op deze σ-algebra met \lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1."

De Lebesgue-maat heeft verder de eigenschap dat hij σ-eindig is.

Nulverzamelingen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Nulverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een deelverzameling van Rn is een nulverzameling, als zij voor elke ε > 0 kan worden bedekt met aftelbaar veel producten van n intervallen, waarvan het totale volume ten hoogste gelijk is aan ε. Alle aftelbare verzamelingen zijn ook nulverzamelingen.

Als een deelverzameling van Rn een Hausdorff-dimensie heeft van minder dan n dan is deze deelverzameling een nulverzameling met betrekking tot de n-dimensionale Lebesgue-maat. De Hausdorff-dimensie is hier relatief ten opzichte van de Euclidische metriek van Rn (of enig ander metrische Lipschitz-equivalent daarvan). Aan de andere kant kan een verzameling een topologische dimensie minder dan n hebben en toch een positieve n-dimensionale Lebesgue-maat hebben. Een voorbeeld hiervan is de Smith-Volterra-Cantor-verzameling die een topologische dimensie 0 heeft en tegelijkertijd ook een positieve eendimensionale Lebesgue-maat.

Om te laten zien dat een gegeven verzameling A Lebesgue-meetbaar is, probeert men gewoonlijk om een "mooiere" verzameling B te vinden, die alleen van A verschilt door een nulverzameling (in de zin dat het symmetrische verschil (AB)∪(BA) een nulverzameling is). Vervolgens laat men zien dat B kan worden gegenereerd door gebruik te maken van aftelbare verenigingen en doorsnedes van open of gesloten verzamelingen.

Constructie van de Lebesgue-maat[bewerken]

De moderne constructie van de Lebesgue-maat, gebaseerd op de uitwendige maten, is ingevoerd door Carathéodory. De constructie ziet er als volgt uit.

Leg n\in\mathbb N vast. Een box in \R^n is een verzameling van de vorm B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i], waar b_i\ge a_i. Het volume \operatorname{vol}(B) van deze box wordt gedefinieerd als zijnde \prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Voor enige deelverzameling A op Rn kunnen we de uitwendige maat  \lambda^*(A) definiëren door:

 \lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{j\in J}\operatorname{vol}(B_j) : \{B_j:j\in J\}\text{is een aftelbare collectie van boxen waarvan de vereniging A afdekt}\Bigr\}

Wij kunnen de verzameling A dan als Lebesgue-meetbaar definiëren als

 \lambda^*(S) = \lambda^*(A \cap S) + \lambda^*(S - A) \,

voor alle verzamelingen S\subset \R^n. Deze Lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra en de Lebesgue-maat wordt gedefinieerd door λ(A) = λ*(A) voor enige Lebesgue-meetbare verzameling A.

Volgens de stelling van Vitali bestaat er een deelverzameling van de reële getallen R die niet Lebesgue-meetbaar is. Het is zelfs sterker: als A enige deelverzameling van \R^n is met een positieve maat, dan heeft A deelverzamelingen die niet Lebesgue-meetbaar zijn.

Relatie tot andere maten[bewerken]

De Borelmaat komt op die verzamelingen, waarvoor hij is gedefinieerd, overeen met de Lebesgue-maat. Er zijn echter veel meer Lebesgue-meetbare verzamelingen dan er Borel-meetbare verzamelingen zijn. De Borelmaat is translatie-invariant, maar de Borelmaat is niet volledig.

De Haar-maat kan worden gedefinieerd op elke lokaal compacte topologische groep en is een veralgemening van de Lebesgue-maat (Rn met de operatie optellen is een lokaal compacte groep).

De Hausdorffmaat is een veralgemening van de Lebesgue-maat, die nuttig is voor het meten van de deelverzamelingen van Rn van lagere dimensies dan n, zoals deelvariëteiten, bijvoorbeeld, oppervlakken of krommen in R3 en fractale verzamelingen.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. Henri Lebesque, "Intégrale, longueur, aire", 1902, Université de Paris