Dichtheidsstelling van Lebesgue

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor enige Lebesgue-meetbare verzameling A, de "dichtheid" van A gelijk is aan 1 op bijna elk punt in A. Intuïtief betekent dit dat de rand van A, dat is de verzameling punten in A, waarvan de omgeving gedeeltelijk in A en gedeeltelijk buiten A ligt, verwaarloosbaar is. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue.

Definitie[bewerken]

Laat de Lebesgue-maat op de Euclidische ruimte en een Lebesgue-meetbare deelverzameling van zijn. Definieer de dichtheid bij benadering van in een -omgeving van een punt als

waarin de gesloten bol aanduidt met straal en middelpunt .

Stelling[bewerken]

De dichtheidsstelling van Lebesgue houdt in dat voor bijna elk punt van de dichtheid

bestaat en gelijk is aan 1.

In andere woorden: voor elke meetbare verzameling is de dichtheid van bijna overal in gelijk aan 0 of 1. Het is echter een opmerkelijk feit dat als en , er dan altijd punten van bestaan waar de dichtheid noch 0 noch 1 is.

Gegeven een vierkant in het vlak is de dichtheid van elk punt binnen dit vierkant bijvoorbeeld gelijk aan 1, op de randen is de dichtheid gelijk aan 1/2, en in de hoekpunten is de dichtheid gelijk aan 1/4. De verzameling van de punten in het vlak waar de dichtheid noch 0, noch 1 is dus niet-leeg (de randen van het vierkant), maar de verzameling is verwaarloosbaar.

Referenties[bewerken]