Dichtheidsstelling van Lebesgue

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor enige Lebesgue-meetbare verzameling A, de "dichtheid" van A gelijk is aan 1 op bijna elk punt in A. Intuïtief betekent dit dat de rand van A, dat is de verzameling punten in A, waarvan de omgeving gedeeltelijk in A en gedeeltelijk buiten A ligt, verwaarloosbaar is. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue.

Definitie[bewerken]

Laat \mu de Lebesgue-maat op de Euclidische ruimte \R^n en A een Lebesgue-meetbare deelverzameling van \R^n zijn. Definieer de dichtheid bij benadering van A in een \varepsilon-omgeving van een punt x\in \R^n als

 d_\varepsilon(x)=\frac{\mu(A\cap B_\varepsilon(x))}{\mu(B_\varepsilon(x))}

waarin B_\varepsilon de gesloten bol aanduidt met straal \varepsilon en middelpunt x.

Stelling[bewerken]

De dichtheidsstelling van Lebesgue houdt in dat voor bijna elk punt van A de dichtheid

 d(x)=\lim_{\varepsilon\to 0} d_{\varepsilon}(x)

bestaat en gelijk is aan 1.

In andere woorden: voor elke meetbare verzameling A is de dichtheid van A bijna overal in \R^n gelijk aan 0 of 1. Het is echter een opmerkelijk feit dat als \mu(A)>0 en \mu(\R^n \setminus A)>0, er dan altijd punten van \R^n bestaan waar de dichtheid noch 0 noch 1 is.

Gegeven een vierkant in het vlak is de dichtheid van elk punt binnen dit vierkant bijvoorbeeld gelijk aan 1, op de randen is de dichtheid gelijk aan 1/2, en in de hoekpunten is de dichtheid gelijk aan 1/4. De verzameling van de punten in het vlak waar de dichtheid noch 0, noch 1 is dus niet-leeg (de randen van het vierkant), maar de verzameling is verwaarloosbaar.

Referenties[bewerken]