Complement (verzamelingenleer)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het complement Ac van de deel-verzameling A van U:
A^c~~~=~~~U \setminus A

In de verzamelingenleer is het complement van een deelverzameling A gedefinieerd met betrekking tot een verzameling U waarvan alle betrokken verzamelingen deel van zijn. Het complement van A is de deelverzameling van U bestaande uit alle elementen van U die niet tot A behoren.

De verzameling U wordt in dit verband als universele verzameling aangeduid en het complement van A genoteerd als

A^c\, of \bar{A},

zonder verdere verwijzing naar U.

A^c=\{x \in U \mid x\notin A\}.

Is U niet de universele verzameling, dan is er sprake van een relatief complement en is er geen speciale notatie. Het relatieve complement van A ten opzichte van B kan uitgedrukt worden als verschil

B\setminus A of
B-A\,.

Eigenschappen[bewerken]

Het complement van het complement is de verzameling zelf:

(A^c)^c=A\,

Samen met het complement vormt een verzameling het hele universum:

A^c\cup A=U\,

Er is geen gemeenschappelijk element met het complement:

A^c\cap A=\empty\,

Buiten het universum is niets:

U^c=\empty\,
\empty^c=U\,

Regels van De Morgan:

(A\cup B)^c =A^c\cap B^c\,
(A\cap B)^c =A^c\cup B^c\,