Universele verzameling

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een universele verzameling die verzameling van wiskundige objecten, van entiteiten die bij een wiskundige verhandeling in ruime zin of bij een onderzoek een rol spelen of onderwerp van bespreking zijn of zouden kunnen zijn binnen die verhandeling of dat onderzoek. Een universele verzameling wordt bijna altijd aangegeven met de letter $U$ of met ${\mathcal {U}}$, soms ook met $\xi$, de kleine Griekse letter xi. Zo'n universele verzameling wordt ook wel de alverzameling van het deelgebied genoemd.

Bij de meeste deelgebieden van de wiskunde behoren verzamelingen en daarop gebaseerde operaties tot de instrumenten waarmee zo'n deelgebied wordt beschreven. Vaak worden daarbij dan deelverzamelingen gebruikt van eenzelfde 'vaste' verzameling, gekoppeld aan juist dat deelgebied.

Voorbeelden

• In de vlakke meetkunde kan $U$ de verzameling zijn van alle reële punten in het euclidische vlak. Deelverzamelingen van $U$ zijn bijvoorbeeld lijnen, als verzameling van punten, de hoekpunten en punten van de zijden van een vierhoek.
• In de rekenkunde en in de schoolalgebra is $U$ bij het oplossen van rekenproblemen meestal een vooraf vastgestelde getalverzameling, zoals de natuurlijke getallen $\mathbb {N}$ of de reële getallen $\mathbb {R}$.

Maar ook is mogelijk, weer als voorbeeld: $U=\{\ \{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\ \dots \ \}$

• In de analyse is $U$ bijvoorbeeld de verzameling van differentieerbare functies.
• In de taalkunde is de verzameling van trefwoorden, lemmata of ingangen in de officiële woordenlijst van een taal als een universele verzameling op te vatten.

Eigenschappen

$A$ en $A^{c}$ vormen samen $U$.

• Is $A$ de verzameling objecten waarover een zekere verhandeling gaat en is $U$ de verzameling van alle objecten $x$ waarover die verhandeling zou kunnen gaan, dan is $A^{c}$, ook wel ${\bar {A}}$, de verzameling van objecten die niet worden besproken, het complement van $A$.

$A^{c}=\{x\in U\ |\ x\not \in A\}$

Dan is:

$A\cup A^{c}=U$

• Voor elke universele verzameling $U$ geldt: $\ U^{c}=\emptyset$.

Met de wetten van De Morgan:

$U^{c}=(A\cup A^{c})^{c}=A^{c}\cap A=\emptyset$

• Omgekeerd is $\emptyset ^{c}=U$.

voetnoten

literatuur

• E. Bouqué. De algebra der verzamelingen en relaties, 1967. Gent: E. Story - Scientia; blz. 11–32.
• Paul R. Halmos. Intuïtieve verzamelingenleer, 1960, 1968. Utrecht: Het Spectrum; blz. 16–20, vertaling van (en) Naive Set Theory.
• S.C. Kleene. Mathematical Logic, 1967. New York: John Wiley & Sons; blz. 134–140.
• I. Moerdijk en J. van Oosten. Sets, Models and Proofs, 2006. voor de Universiteit Utrecht.
• P.G.J. Vredenduin. 'De alverzameling', 1965. in Euclides; jrg. 41, nr. 4, blz 97-103.

websites

• MathWorld. Universal Set.
• Encyclopædia Britannica. Universal set.