Bovengrens en ondergrens

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Bovengrens)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een bovengrens of majorante van een partieel geordende verzameling een element waarvoor geldt dat voor alle

Op analoge wijze is een ondergrens of minorante van gedefinieerd als een element waarvoor geldt dat voor alle

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie een getal is, waarvoor geldt dat voor alle Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: voor alle

Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.

Verwante begrippen[bewerken]

Maximum en minimum[bewerken]

Indien er voor een partieel geordende verzameling een element bestaat zodanig dat voor alle dan heet het maximum van dient dus een bovengrens te zijn en tevens tot te behoren. Men noteert:

Analoog is een minimum van indien voor alle geldt dat Ook hier is dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert:

Supremum en infimum[bewerken]

De kleinste bovengrens wordt het supremum genoemd. In feite is het supremum van het minimum van de verzameling van de majoranten van Notatie:

Analoog wordt de grootste ondergrens het infimum genoemd. Het infimum van is het maximum van de verzameling van de minoranten van . Notatie: .

Eigenschappen[bewerken]

Beschouwen de partieel geordende verzameling

  • Als bestaat, is dit gelijk aan
  • Als bestaat, is dit gelijk aan
  • Als niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat
  • Als niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat
  • Als en is naar boven (resp. onder) begrensd, dan heeft een supremum (resp. infimum).

Voorbeelden[bewerken]

  • Neem de verzameling , dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens voor , aangezien voor ieder getal geldt dat Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
  • Beschouw de volgende verzamelingen (zie ook interval)
1
1
0
0
/
1
/
0
/
+
/
-
1
1
/
0
  • Neem de functie .
    Voor alle geldt nu dat een bovengrens is van
    De functie heeft geen minimum maar er geldt wel dat

Zie ook[bewerken]