Bovengrens en ondergrens

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een bovengrens of majorante van een partieel geordende verzameling S een getal g waarvoor geldt dat x ≤ g voor alle x ∈ S.

Op analoge wijze definiëren we een ondergrens of minorante van een verzameling S als zijnde een getal k waarvoor geldt dat x ≥ k voor alle x ∈ S.

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie f : A → B een getal g is, waarvoor geldt dat f(x) ≤ g voor alle x ∈ A. Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: f(x) ≥ k voor alle x ∈ A.

Een functie met een bovengrens kan men naar boven begrensd noemen. Een functie met een ondergrens is naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.

Verwante begrippen[bewerken]

maximum en minimum[bewerken]

Indien er voor een verzameling S een element M ∈ S bestaat zodanig dat M ≥ a voor alle a ∈ S, dan heet M het maximum van S. M dient dus een bovengrens te zijn en tevens tot S te behoren. We noteren: M = max(S).

Analoog is m ∈ S een minimum van S indien voor alle a ∈ S geldt dat m ≤ a. Ook hier is m dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. We noteren: m = min(S).

supremum en infimum[bewerken]

De kleinste bovengrens wordt ook wel het supremum genoemd. In feite is het supremum s van S dus het minimum van de verzameling van de majoranten van S. We noteren: s = sup(S).

Analoog wordt de grootste ondergrens ook wel het infimum genoemd. Het infimum i van S is dus het maximum van de verzameling van de minoranten van S. We noteren: i = inf(S).

Eigenschappen[bewerken]

We beschouwen een verzameling S

  • Als max(S) bestaat is deze gelijk aan sup(S)
  • Als min(S) bestaat is deze gelijk aan inf(S)
  • Als S niet naar boven begrensd is stellen we sup(S) = +∞
  • Als S niet naar onder begrensd is stellen we inf(S) = -∞
  • Elke niet-lege verzameling S die naar boven (resp. onder) begrensd is heeft een supremum (resp. infimum).

Voorbeelden[bewerken]

  • Neem de verzameling S = {1,2,3,9}, dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens voor S, aangezien voor ieder getal x \in S geldt dat x ≤ 12. Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
  • Beschouw de volgende verzamelingen (zie ook interval)
S
max(S)
sup(S)
min(S)
inf(S)
\left[ {0,1} \right]
1
1
0
0
\left( {0,1} \right)
/
1
/
0
\mathbb{R}
/
+ \infty
/
- \infty
\left\{ {1/n|n \in \mathbb{N}_0 } \right\}
1
1
/
0
  • Neem de functie f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}:f\left( x \right) = 4 - x^2.
    Voor alle u \in [4,\infty) geldt nu dat u een bovengrens is van f.
    De functie heeft geen minimum maar er geldt wel dat max(f) = sup(f) = 4.