Bovengrens en ondergrens

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een bovengrens of majorant van een deelverzameling van een partieel geordende verzameling een element waarvoor geldt dat voor alle . Als er een bovengrens is van , heet een naar boven begrensde deelverzameling van .

Op analoge wijze is een ondergrens of minorant van gedefinieerd als een element waarvoor geldt dat voor alle . Als er een ondergrens is van , heet een naar onder begrensde deelverzameling van .

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie een getal is, waarvoor geldt dat voor alle . Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: voor alle .

Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.

Verwante begrippen[bewerken]

Maximum en minimum[bewerken]

Indien er voor een deelverzameling van een partieel geordende verzameling een element bestaat zodanig dat voor alle , dan heet het maximum van . Het maximum dient dus een bovengrens van te zijn en tevens tot te behoren. Men noteert: .

Analoog is een minimum van , indien voor alle geldt dat . Hier is dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert: .

Supremum en infimum[bewerken]

De kleinste bovengrens van wordt het supremum van genoemd. In feite is het supremum van het minimum van de verzameling van de majoranten van :

Analoog wordt de grootste ondergrens van het infimum van genoemd. Het infimum van is het maximum van de verzameling van de minoranten van :

Eigenschappen[bewerken]

Laat een deelverzameling zijn van een partieel geordende verzameling .

  • Als bestaat, is dit maximum gelijk aan .
  • Als bestaat, is dit minimum gelijk aan .
  • Als niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat .
  • Als niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat .
  • Als en is naar boven (resp. onder) begrensd, dan heeft een supremum (resp. infimum).

Voorbeelden[bewerken]

  • Neem de deelverzameling van ; dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens van , aangezien voor ieder getal geldt dat . Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
  • Beschouw de volgende verzamelingen (zie ook interval)
1 1 0 0
- 1 - 0
- -
1 1 - 0
  • Neem de functie . Voor alle geldt dat een bovengrens is van . De functie heeft geen minimum, maar er geldt wel dat .

Zie ook[bewerken]