Stelling van Rolle

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, houdt de stelling van Rolle in dat er voor een "nette" kromme door de punten en met dezelfde -coördinaat minstens één punt tussen en bestaat waarin de raaklijn aan de kromme evenwijdig is aan de -as. Voor het bewijs van de middelwaardestelling wordt een beroep gedaan op de stelling van Rolle.

De stelling werd in 1691 door de Franse wiskundige Michel Rolle gepubliceerd en is naar hem genoemd.

Stelling van Rolle[bewerken]

Als een functie voldoet aan de voorwaarden:

  1. is continu op het gesloten interval
  2. is differentieerbaar op het open interval
  3. ,

dan bestaat er een getal in het open interval , waarin de afgeleide van gelijk is aan 0, dus

Teorema de Rolle 1.png

Bewijs[bewerken]

Voor de eenvoud noemen we . Wegens de extremumstelling bereikt zowel een minimum als een maximum op . We moeten dan drie verschillende gevallen onderscheiden:

  1. : is constant op , dus is voor elke .
  2. , dan is met en , omdat minimaal is in .
    Wanneer een differentieerbare functie in een extreme waarde bereikt, is de eerste afgeleide gelijk aan nul:
  3. : op dezelfde manier als .

Overige[bewerken]

  • De stelling van Rolle komt met de tussenwaardestelling overeen, in het bijzonder met de stelling van Bolzano. Veronderstel dat een functie is die continu is op het interval en differentieerbaar op het interval . is niet constant, maar er is gegeven dat . Er moeten dan twee verschillende punten zijn, zodat , waarin en tegengesteld van teken zijn. Beide zijn dus ongelijk aan 0. mag zijn, mag zijn. Volgens beide stellingen is er een punt waarvoor .
  • De stelling van Gauss-Lucas uit de complexe functietheorie legt een meetkundig verband tussen de nulpunten van een polynoom en de nulpunten van daarvan de afgeleide.