Stelling van Taylor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De stelling van Taylor, in 1715 geformuleerd door Brook Taylor, geeft aan hoe we een functie in de omgeving van een punt door middel van een polynoom kunnen benaderen. De coëfficiënten van de polynoom worden uit de afgeleiden van de functie in dat punt bepaald.

Als een functie voldoende vaak differentieerbaar is in een omgeving van het punt kan de functiewaarde in een punt uit die omgeving successievelijk worden benaderd door de polynomen:

en zo verder:

Deze laatste som heet de -de taylorpolynoom van in . Het verschil tussen en de benaderende -de taylorpolynoom heet de restterm. De stelling van Taylor doet een uitspraak over de nauwkeurigheid van de benadering, door een schatting te geven van de restterm.

De stelling is er in verschillende versies, met meer of minder aangescherpte voorwaarden en onderscheiden vormen van de restterm.

Stelling[bewerken]

De meest basale vorm van de stelling is de volgende. Laat de functie keer differentieerbaar zijn in het punt . Dan is er een functie zodanig dat

en

Deze vorm van de restterm wordt de Peano-vorm genoemd.

Onder sterkere regulariteitsvoorwaarden zijn er andere vormen van de stelling met meer expliciete uitdrukkingen voor de restterm. Een daarvan is de volgende.

Als een keer continu differentieerbare functie is, dat wil zeggen differentieerbaar met continue afgeleide, op het interval is er voor elke een getal tussen en zodanig dat

De stelling kan ook zo geformuleerd worden dat bij elk getal een getal bestaat, zo, dat de restterm van de volgende algemene vorm is (restterm van Schlömilch):

.

Voor is dit de restterm van Cauchy:

Voor is dit de in de stelling genoemde restterm van Lagrange.

Bewijs[bewerken]

De stelling berust op toepassing van de middelwaardestelling op de restterm:

.

Toepassing[bewerken]

In sommige gevallen, en zeker in praktische berekeningen, bestaat een benadering van een functie(waarde) uit een eindig aantal termen als boven. Als de functie voldoende vaak differentieerbaar is, geldt:

waarin men zo kan kiezen dat de restterm voldoende klein is.

Voorbeelden[bewerken]

Een benadering van wordt verkregen door in de bovenstaande formule te stellen, en te gebruiken dat de afgeleide van gelijk is aan zichzelf, en voor gelijk is aan 1:


Niet bij elke functie lukt zo'n benadering; van bijvoorbeeld de functie

voor en

zijn alle afgeleiden nul voor De functiewaarde zit geheel in de restterm, wat de stelling voor deze functie onbruikbaar maakt.