Stelling van Taylor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Taylor, in 1715 geformuleerd door Brook Taylor, geeft aan hoe we een functie in de omgeving van een punt door middel van een polynoom kunnen benaderen. De coëfficiënten van de polynoom worden uit de afgeleiden van de functie in dat punt bepaald.

Als een functie f voldoende vaak differentieerbaar is in een omgeving van het punt x0, kan de functiewaarde f(x) in een punt x uit die omgeving successievelijk worden benaderd door de polynomen:

f(x_0),\,
f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),\,
f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\tfrac 12 f''(x_0) (x-x_0)^2\,

en zo verder:

f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\tfrac 12 f''(x_0) (x-x_0)^2 + \ldots + \tfrac 1{n!} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n = \sum_{k=0}^n \tfrac 1{k!} f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k

Deze laatste som heet de n-de taylorpolynoom van f in x_0. Het verschil tussen f(x) en de benaderende n-de taylorpolynoom heet de restterm. De stelling van Taylor doet een uitspraak over de nauwkeurigheid van de benadering, door een schatting te geven van de restterm.

De stelling is er in verschillende versies, met meer of minder aangescherpte voorwaarden en onderscheiden vormen van de restterm.

Stelling[bewerken]

De meest basale vorm van de stelling is de volgende. Laat de functie f: \R\to\R n keer differentieerbaar zijn in het punt x_0. Dan is er een functie h_n: \R\to\R zodanig dat

\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0

en

f(x) - \sum_{k=0}^n \tfrac 1{k!} f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k = h_n(x)(x-x_0)^n

Deze vorm van de restterm wordt de Peano-vorm genoemd.

Onder sterkere regulariteitsvoorwaarden zijn er andere vormen van de stelling met meer expliciete uitdrukkingen voor de restterm. Een daarvan is de volgende.

Als de functie f\ \ n+1 keer continu differentieerbaar is, dat wil zeggen differentieerbaar met continue afgeleide, op het interval [a,b], is er voor elke x_0,x\in (a,b) een getal \theta tussen x_0 en x, zodanig dat

R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{ f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \frac{ f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

De stelling kan ook zo geformuleerd worden dat het getal θ bij elk getal 0<p≤n+1 bestaat zo dat de restterm van de volgende algemene vorm is, de restterm van Schlömilch:

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta)}{p\ n!} (x-\theta)^{n+1-p}(x-x_0)^p.

Voor p = 1 is dit de restterm van Cauchy:

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta)}{n!}(x-\theta)^n (x-x_0)

Voor p = n+1 is dit de in de stelling genoemde restterm van Lagrange.

Bewijs[bewerken]

De stelling berust op toepassing van de middelwaardestelling op de restterm:

R_n(x)= \int\limits_{x_0}^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t.

Toepassing[bewerken]

In sommige gevallen, en zeker in praktische berekeningen, bestaat een benadering van een functie(waarde) uit een eindig aantal termen als boven. Als de functie f voldoende vaak differentieerbaar is, geldt:

 f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{ f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x),

waarin men n zo kan kiezen dat de restterm voldoende klein is.

Voorbeelden[bewerken]

Een benadering van \textrm{e}^x wordt verkregen door in de bovenstaande formule x_0=0 te stellen, en te gebruiken dat de afgeleide van \textrm{e}^x gelijk is aan zichzelf, en voor x=0 gelijk is aan 1:

 \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^N}{N!}.


Niet bij elke functie lukt zo'n benadering, b.v. van de functie

f(x)=e^{(-1/x^2)} voor x ≠ 0 en f (0) = 0

zijn alle afgeleiden nul voor x = 0. De functiewaarde zit geheel in de restterm, wat de stelling voor deze functie onbruikbaar maakt.