Numerieke integratie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Numerieke integratie is in de numerieke wiskunde de berekening van de numerieke waarde als benadering van een integraal. Veel integralen laten zich niet uitdrukken in elementaire functies. Om toch de numerieke waarde te bepalen, neemt men z'n toevlucht tot numerieke integratie.

Een veel gebruikte methode daarbij is de integraal te benaderen op grond van een aantal functiewaarden.

\int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=1}^n w_k f(x_k),\,

waarin x1, ..., xn punten in het interval [a,b] zijn en w1, ..., wn bijbehorende gewichtsfactoren. Door de manier waarop deze punten en de gewichtsfactoren gekozen worden, ontstaan verschillende vormen van deze methode.

De belangrijkste klasse vormen de formules van Newton-Cotes, die met abscissen op gelijke afstanden werken. Een eenvoudig geval is de trapeziumregel. Veel beter is de regel van Simpson. Theoretisch zijn de formules van 4e en 6e orde nog beter, maar ze zijn in praktijk moeilijk toe te passen.

Een hogere algebraïsche nauwkeurigheid geeft de kwadratuurformule van Gauss, maar die vereist functiewaarden in abscissen op ongelijke afstanden. Ze is dus iets moeilijker toe te passen.

In praktijk wordt de regel van Simpson het meest toegepast en de kwadratuurformule van Gauss iets minder.

Een speciale integraal is de Fourier transformatie. Daarvoor bestaat een speciaal algoritme: FFT.