Numerieke integratie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

Numerieke integratie is in de numerieke wiskunde de berekening van de numerieke waarde als benadering van een integraal. Hiertoe neemt men zijn toevlucht, omdat veel integralen zich niet laten uitdrukken in elementaire functies. Een veel gebruikte methode is de integraal te benaderen als gewogen som van een aantal functiewaarden:

waarin de zogeten steunpunten punten in het interval [a,b] zijn en bijbehorende gewichtsfactoren. Door de manier waarop deze punten en de gewichtsfactoren gekozen worden, ontstaan verschillende benaderingmethoden.

De belangrijkste klasse vormen de formules van Newton-Cotes, die met equidistante afstanden werken. Een eenvoudig gevalis de trapeziumregel, die de integraal op elk deelinterval benadert door de oppervlakte van de trapeze met als schuine zijde de koorde tussen de punten op de grafiek van de functie in de eindpunten van het deelinterval. Een betere benadering geeft de regel van Simpson, die in plaats van de koorde uit de trapeziumregel eenn parabolische aanpassing aan de grafiek doet. Theoretisch zijn de formules van 4e en 6e orde nog beter, maar deze zijn in praktijk moeilijk toe te passen.

Een hogere algebraïsche nauwkeurigheid geeft de kwadratuurformule van Gauss, die gebruikt maakt van een polynoombenadering van de functie.

In praktijk wordt de regel van Simpson het meest toegepast en de kwadratuurformule van Gauss iets minder.

Een speciale integraal is de Fourier transformatie; daarvoor bestaat een speciaal algoritme, de zogernaamde Fast Fourier Transform (FFT).