Gauss-kwadratuur

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Kwadratuurformule van Gauss)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Gauss-kwadratuur is een door Carl Friedrich Gauss bedachte en door hem in 1814 gepubliceerde methode (kwadratuur).[1] om een integraal numeriek te benaderen. Gauss-kwadratuur levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De vorm met orthogonale polynomen, zoals die tegenwoordig gehanteerd wordt, stamt uit 1826 en is afkomstig van Carl Jacobi.[2]

Achtergrond[bewerken | brontekst bewerken]

De achterliggende gedachte van gauss-kwadratuur is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten :

Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad

en voor elke de steunpunten en de gewichten eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad [3]:

Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.

De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van polynomen uit een rij orthogonale polynomen met betrekking tot het inproduct

Er is nog een vrij keuze wat de norm van de polynomen betreft, en een geschikte keuze is de polynomen normeren op 1, zodat ze een orthonormaal stelsel vormen.

Omdat en , is

en

voor

Dus is ook voor :

Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.

Elke polynoom van de graad is een lineaire combinatie van de polynomen :

waarin

immers:

Er blijft dus nog de gewichten en steunpunten te bepalen zo, dat voor

Voor het steunpunt neemt men de -de wortel van , dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van lineaire vergelijkingen (van de vergelijkingen is die voor triviaal, aangezien ).

voor

De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:

voor

Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:

Gauss-legendrekwadratuur[bewerken | brontekst bewerken]

Gauss-legendrekwadratuur (GLK) is een speciaal geval van gauss-kwadratuur. Ze dient om de integraal van een functie over het interval numeriek te benaderen. Dat gebeurt door de gewogen som te nemen van de functiewaarden in bepaalde steunpunten . Het aantal steunpunten in de GLK-formule van graad is .

De steunpunten zelf liggen bij een bepaalde graad van GLK vast en liggen symmetrisch rondom de oorprong 0. Het zijn de wortels van de legendreveelterm van de graad . Ze zijn niet equidistant. Dat betekent dat de afstand tussen twee opeenvolgende punten en niet altijd dezelfde is. Daarmee onderscheidt GLK zich van andere numerieke integratiemethoden die meestal wel equidistante steunpunten hebben.

De gewichten liggen ook vast bij een bepaalde graad . Ze kunnen berekend worden uit de legendreveelterm van graad :

Gauss-legendrekwadratuur van graad heeft een nauwkeurigheidsgraad van . Dat betekent dat GLK van graad een veelterm van graad exact kan integreren. De hoge nauwkeurigheidsgraad, vergeleken met andere numerieke integratiemethodes, is een gevolg van de orthogonaliteit van de legendreveeltermen op het interval .

Uitbreiding[bewerken | brontekst bewerken]

De methode kan worden uitgebreid tot een- of tweezijdig onbegrensde intervallen en inproducten van de vorm:

,

waarin de functie een geschikte wegingsfuntie is en de benadering van de vorm is:

Formule[bewerken | brontekst bewerken]

De integraal van de functie met gewichtsfunctie wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:

Daarin

  • is een polynoom van de graad en vormen de polynomen een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
  • zijn de nulpunten van
  • is de coëfficiënt van in
  • stelt de afgeleide van voor
  • is de kroneckerdelta, dus 1 als en 0 als

Gauss-laguerrekwadratuur[bewerken | brontekst bewerken]

Gauss-laguerrekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval en gewichtsfunctie . Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de laguerre-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als

Gauss-hermitekwadratuur[bewerken | brontekst bewerken]

Gauss-hermitekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval en gewichtsfunctie . Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de hermite-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Op het interval vormen de legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor is de genormeerde versie

Deze polynoom is kwadratisch in , dus zijn de nulpunten van de vorm

,

dus

De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:

,

waaruit volgt

en

Dus is

zodat

en

Als benadering voor de integraal

geeft Gauss-kwadratuur:

De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:

Nu is

en

dus

en

.

Invullen levert:

Omdat een nulpunt is van , is , met als gevolg:

Referenties[bewerken | brontekst bewerken]

  1. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Comm. Soc. Sci. Göttingen Math., deel 3, 1815, 29-76, Gallica, (gedateerd 1814)
  2. Jacobi Ueber Gauß’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, deel 1, 1826, 301-308, Online
  3. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3e druk), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3

Externe link[bewerken | brontekst bewerken]