Kwadratuurformule van Gauss

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De kwadratuurformule van Gauss is een methode om een integraal numeriek te benaderen. De kwadratuurformule van Gauss levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De methode is bedacht door Carl Friedrich Gauss en door hem gepubliceerd in 1814.[1] De vorm met orthogonale polynomen, zoals die tegenwoordig gehanteerd wordt, stamt uit 1826 en is afkomstig van Carl Jacobi.[2]

Achtergrond[bewerken]

De achterliggende gedachte van de kwadratuurformule van Gauss is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten :

Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad

en voor elke de steunpunten en de gewichten eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad [3]:

Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.

De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van polynomen uit een rij orthogonale polynomen , met van de graad , en orthogonaliteit met betrekking tot het inproduct

Voor de polynomen geldt dan:

, d.w.z. 0 voor en 1 voor

Omdat en , is

en

voor

Dus is ook voor :

Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.

Elke polynoom van de graad is een lineaire combinatie van de polynomen :

waarin

immers:

Er blijft dus nog de gewichten en steunpunten te bepalen zo, dat voor

Voor het steunpunt neemt men de -de wortel van , dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van lineaire vergelijkingen (van de vergelijkingen is die voor triviaal).

voor

De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:

voor

Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:

Uitbreiding[bewerken]

De methode kan worden uitgebreid tot een- of tweezijdg onbegrensde intervallen en inproducten van de vorm:

,

waarin de functie een geschikte wegingsfuntie is en de benadering van de vorm is:

Orthogonale polynomen[bewerken]

Voor elk interval en gewichtsfunctie is er een stelsel orthogonale polynomen. In onderstaande tabel staan enkele mogelijkheden opgesomd.

Formule[bewerken]

De integraal van de functie met gewichtsfunctie wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:

Daarin

  • is een polynoom van de graad en vormen de polynomen een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
  • zijn de nulpunten van
  • is de coëfficiënt van in
  • stelt de afgeleide van voor
  • is de Kroneckerdelta, dus 1 als en 0 als

Orthogonale stelsels polynomen[bewerken]

Tabel
Integratiegrenzen gewichtsfunctie polynomen
a b w(x)
-1 1 1 Legendre-polynoom
a b Jacobi-polynoom
-1 1 Chebyshev-polynoom
eerste soort
-1 1 Chebyshev-polynoom
tweede soort
-∞ Hermite-polynoom
0 Laguerre-polynoom
0 geassocieerd
Laguerre-polynoom

De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.

Voorbeeld[bewerken]

Op het interal [-1,1] vormen de Legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor is de genormeerde versie

Deze polynoom is kwadratisch in , dus zijn de nulpunten van de vorm

,

dus

De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:

,
,
,

waaruit volgt

en

Dus is

zodat

en

Als benadering voor de integraal

geeft Gauss-kwadratuur:

De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:

Nu is

en

dus

en

.

Invullen levert:

Omdat een nulpunt is van , is , met als gevolg:

Referenties[bewerken]

  1. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Comm. Soc. Sci. Göttingen Math., deel 3, 1815, 29-76, Gallica, (gedateerd 1814)
  2. Jacobi Ueber Gauß’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, deel 1, 1826, 301-308, Online
  3. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3e druk), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3

Externe link[bewerken]