Legendre-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde bedoelt men met de term Legendre-polynoom de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Legendre. Soms echter bedoelt men de geassocieerde Legendrepolynoom met de term Legendre-polynoom.

Differentiaalvergelijking[bewerken]

De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de Laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft (althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de θ-afhankelijkheid, waarbij θ de polaire hoek is)[1].

Een standaardmethode voor de oplossing van deze vergelijking is ontwikkeling van een machtreeks. De oplossing convergeert wanneer |x| < 1. Bovendien is de waarde eindig voor x = ± 1, vooropgesteld dat n een niet-negatief geheel getal is, i.e. n = 0, 1, 2, ... In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een polynome reeks van orthogonale polynomen, de Legendre-polynomen

Iedere Legendre-polynoom Pn(x) is een veelterm van graad n en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

Orthogonaliteit[bewerken]

Een belangrijke eigenschap van de Legendre-polynomen is dat zij, zoals hierboven reeds vermeld, orthogonaal zijn met betrekking tot het L2 inproduct op het interval −1 ≤ x ≤ 1:

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

mn is de Kronecker-delta die gelijk is aan 1 als m = n en anders nul).

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de Gram-Schmidtmethode op het inproduct van de polynomen {1, x, x², ...}. De reden voor het orthogonale gedrag is dat de Legendre vergelijking gezien kan worden als een Sturm-Liouvillevraagstuk

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} \right]P(x) = -\lambda P(x),

waar de eigenwaarde λ overeenkomt met n(n+1).

Voorbeelden van Legendre-polynomen[bewerken]

Dit zijn de eerste paar Legendre-polynomen:

n P_n(x)\, norm
0 1\, \sqrt{1 \over 2}
1 x\, \sqrt{3 \over 2}
2 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \, \sqrt{5 \over 2}
3 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \, \sqrt{7 \over 2}
4 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\, \sqrt{9 \over 2}
5 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\, \sqrt{11 \over 2}
6 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\, \sqrt{13 \over 2}

Grafisch zien zij (tot n=5) eruit zoals in bijgaande grafiek

Legendre poly.svg

Toepassingen in de natuurkunde[bewerken]

Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals


\frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)

hierbij zijn r en r' respectievelijk de lengte van de vectoren \mathbf{x} en \mathbf{x}^\prime en \gamma is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als r>r'.

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt \mathbf{x} wanneer de lading zich op punt \mathbf{x}' bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de Laplace-vergelijking en de Poissonvergelijking voor de potentiaal \nabla^2 \Phi(\mathbf{x}), indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. \widehat{\mathbf{z}} staat voor de symmetrieas en \theta is de hoek tussen de waarnemer en de as \widehat{\mathbf{z}}. De oplossing is dan:


\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).

A_\ell and B_\ell moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden [2].

Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen[bewerken]

Figure 2

De Legendre-veelterm is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm


\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x)

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert Legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal \Phi(r, \theta) in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de z-as op punt z=a (Fig. 2) is te schrijven als


\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}}

Als de straal r vanaf het punt van waarneming P veel groter is dan a, is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot Legendre-polynomen:


\Phi(r, \theta) \propto
\frac{1}{r} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^{k}
P_{k}(\cos \theta)

hierbij is \eta = a/r < 1 x = \cos \theta genomen.

In het omgekeerde geval r << a kunnen we ook ontwikkelen tot een Legendre-veelterm, wanneer we de rol van r en a omkeren:

Overige eigenschappen[bewerken]

Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat P_k(1) = 1. \,

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet één is, immers:

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

Een orthonormale versie van de polynoom kan verkregen worden door toevoeging van een normalisatie factor \sqrt {n+ {1\over2} }:

P_{n,norm}(x) = {\sqrt {{n+{1 \over 2}}} \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

P_k'(1) = \frac{k(k+1)}{2}. \,

Legendre-veeltermen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

 (n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n - n P_{n-1}

en

{x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n = xP_n - P_{n-1}.

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is:

(2n+1) P_n = {d \over dx} \left[ P_{n+1} - P_{n-1} \right].
Voetnoten
  1. Lorrain and Corson, Electromagnetic fields and waves, 2nd ed., Freeman, San Francisco 1970, p. 165
  2. Jackson, J.D. Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley & Sons, 1999. page 103