Legendre-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde bedoelt men met de term Legendre-polynoom de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Legendre. Soms echter bedoelt men de geassocieerde Legendrepolynoom met de term Legendre-polynoom.

Differentiaalvergelijking[bewerken]

De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de Laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft (althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de θ-afhankelijkheid, waarbij θ de polaire hoek is)[1].

Een standaardmethode voor de oplossing van deze vergelijking is ontwikkeling van een machtreeks. De oplossing convergeert wanneer . Bovendien is de waarde eindig voor , vooropgesteld dat een niet-negatief geheel getal is. In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een polynome reeks van orthogonale polynomen, de Legendre-polynomen

Iedere Legendre-polynoom is een veelterm van graad en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

Orthogonaliteit[bewerken]

Een belangrijke eigenschap van de Legendre-polynomen is dat zij, zoals hierboven reeds vermeld, orthogonaal zijn met betrekking tot het inproduct op het interval :

.

Daarin is de Kronecker-delta die gelijk is aan 1 als en anders nul.

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de Gram-Schmidtmethode op het inproduct van de polynomen De reden voor de orthogonaliteit van de polynomen is dat de Legendre-vergelijking gezien kan worden als een Sturm-Liouvillevraagstuk

waar de eigenwaarde overeenkomt met .

Voorbeelden van Legendre-polynomen[bewerken]

De eerste Legendre-polynomen zijn:

norm
0
1
2
3
4
5
6

In de onderstaande figuur staan de grafieken van de eerste 6 Legendre-polynomen.

Legendre poly.svg

Toepassingen in de natuurkunde[bewerken]

Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

hierbij zijn en respectievelijk de lengte van de vectoren en en is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als .

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt wanneer de lading zich op punt bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de Laplace-vergelijking en de Poissonvergelijking voor de potentiaal , indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. staat voor de symmetrieas en is de hoek tussen de waarnemer en de as . De oplossing is dan:

and moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden [2].

Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen[bewerken]

Figure 2

De Legendre-veelterm is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert Legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de -as op punt (Fig. 2) is te schrijven als

Als de straal vanaf het punt van waarneming veel groter is dan , is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot Legendre-polynomen:

hierbij is genomen.

In het omgekeerde geval kunnen we ook ontwikkelen tot een Legendre-veelterm, wanneer we de rol van en omkeren:

Overige eigenschappen[bewerken]

Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet één is, immers:

Een orthonormale versie van de polynoom kan verkregen worden door toevoeging van een normalisatiefactor :

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

Legendre-veeltermen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

en

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is: