Sturm-liouvillevraagstuk

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskundige analyse is een sturm-liouvillevraagstuk een naar Charles Sturm en Joseph Liouville genoemde 2e-orde differentiaalvergelijking over het eindige interval van de vorm:

met de niet-triviale randvoorwaarden:

Hierin zijn de functies en continu en reëelwaardig, met en .

Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire differentiaaloperator

en heeft dan de vorm van het eigenwaardeprobleem:

Er is altijd de triviale oplosssing , maar voor sommige waarden van bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden met bijhorende eigenfuncties .

De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:

  • De eigenwaarden zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:
met limiet
  • De bij horende eigenfuntie is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact nulpunten in het interval .
  • De eigenfuncties vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie over

Sturm-Liouvillevraagstukken hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestiek.