Machtreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een machtreeks (in één variabele) een reeks van de vorm

Daarin heet het (complexe) getal an de coëfficiënt van de n-de term.

De machtreeks is een complexwaardige functie in de variabele x.

Een voorbeeld van een machtreeks is de Maclaurinreeks.

Als de machtreeks slechts convergeert in een omgeving van het complexe getal c zal men de machtreeks vaak schrijven (met andere coëfficiënten) in de vorm:

Om die reden spreekt men soms van de machtreeks als gecentreerd rondom c. Een voorbeeld van een machtreeks is de Taylorreeks van een bekende functie.

De complexe waarden van waar de machtreeks absoluut convergeert, vormen:

  1. de gehele verzameling van de complexe getallen, , of
  2. het singleton {0}, of
  3. een open cirkelschijf om 0 heen.

De convergentiestraal van de machtreeks is de straal van de open cirkelschijf (oneindig in geval 1, nul in geval 2).

Meetkundige reeks[bewerken]

Als alle coëfficiënten gelijk zijn aan 1, verkrijgen we een meetkundige reeks

Deze is absoluut convergent dan en slechts dan als de absolute waarde van strikt kleiner is dan 1. Het convergentiegebied is dus een open cirkelschijf met straal 1.

Taylorreeksen[bewerken]

Elke analytische functie die gedefinieerd is in een omgeving van 0, kan geschreven worden in de vorm van een machtreeks. Deze machtreeks kan relatief eenvoudig gevonden worden als de Taylorreeks van rond het punt 0:

.

Hierbij is de n-de afgeleide van de functie .

De convergentiestraal van een Taylorreeks is de afstand van 0 tot de dichtstbijzijnde singulariteit van de functie g (met andere woorden, de absolute waarde van die singulariteit).

Voorbeelden[bewerken]

De meetkundige reeks is de Taylorreeks van de functie . Ze heeft convergentiestraal 1 omdat er een singulariteit bij ligt.

De functie is analytisch op heel de reële rechte. Haar Taylorreeks heeft echter convergentiestraal 1 omdat er singulariteiten liggen bij de imaginaire getallen en .

Zie ook[bewerken]