Complexe functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een complexe functie is een complexwaardige functie van een complexe variabele, dus een functie

waarvan het definitiegebied een deelverzameling is van de complexe getallen . Vaak wordt een complexe functie als volgt genoteerd:

,

waarin en reëelwaardige functies zijn van twee reële variabelen. De theorie van complexe functies wordt functietheorie genoemd.

Afgeleide[bewerken]

Als voor de limiet

,

bestaat heet de complexe functie differentieerbaar in en wordt de limiet aangeduid als de afgeleide van in en aangegeven door:

.

Holomorfe functie[bewerken]

Een holomorfe functie is een functie die op een open deelverzameling van het complexe vlak C is gedefinieerd met waarden in C en die op ieder punt in dit complexe vlak kan worden gedifferentieerd. Zo'n functie wordt ook wel analytisch genoemd. In de reële analyse wordt die term gebruikt om oneindig vaak differentieerbare functies aan te duiden die kunnen worden uitgedrukt als een machtreeks. De benaming analytisch is voor complex differentieerbare functies gerechtvaardigd, omdat complexe functies die eenmaal differentieerbaar zijn, automatisch oneindig vaak differentieerbaar zijn en dus ontwikkelbaar in machtreeksen. Dit is dus een groot verschil tussen de complexe analyse en de reële analyse.

Meromorfe functie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Meromorfe functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Soms is een functie niet overal in z'n domein differentieerbaar, maar wel bijna overal. Bijna overal wil dan zeggen op een verzameling van geïsoleerde punten na. Men noemt zo'n functie een meromorfe functie. De term is afkomstig uit het Grieks, van μέρος (meros) dat deel betekent als tegengesteld tot ὅλος (holos) geheel. Een punt waar een meromorfe functie niet differentieerbaar is, is of een ophefbare singulariteit of een pool.

De Cauchy-Riemann-vergelijkingen[bewerken]

Als de complexe functie differentieerbaar is in het punt en we schrijven voor :

,

geldt voor de afgeleide

.

De afgeleide kan dus worden uitgedrukt in de partiële afgeleiden van en in het punt . In dat punt voldoet dus aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:

Omgekeerd geldt dat een functie die op zijn gehele domein aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen voldoet en waarvan de partiële afgeleiden continu zijn, holomorf is.

Bekende stellingen uit de reële analyse[bewerken]

De meeste stellingen uit de reële analyse gelden ook in de complexe analyse. We formuleren er een aantal.

Kettingregel[bewerken]

Zij en beide holomorfe functies. Dan is de samenstelling ook holomorf en voor de afgeleide geldt:

Inverse functies[bewerken]

Zij een complexe functie, en de inverse functie van f, dus zodat

voor alle .

Als er geldt dat differentieerbaar is in en , dan bestaat de afgeleide van in het punt en wordt gegeven door:

Belangrijke complexe functies[bewerken]

De exponentiële functie[bewerken]

De exponentiële functie wordt met behulp van de formule van Euler gegeven:

Ook voor de complexe exponentiële functie gelden de bekende eigenschappen. Voor is:

en

De logaritme[bewerken]

De exponentiële functie is alleen een injectie wanneer de waarden van zijn beperkt tot een halfopen interval ter lengte . Nu kunnen we de logaritme definiëren:

Hierbij kiezen we het argument als volgt:

De logaritme is gedefinieerd is op .

Kiest men de waarde , dan krijgt men de hoofdwaarde van de logaritme, die ook in de meeste gevallen wordt gebruikt. Voor de complexe logaritme gelden de gebruikelijke stellingen

Hierbij zijn en complexe getallen.

Machten[bewerken]

Met behulp van de logaritme en de exponentiële functie kunnen machten worden gedefinieerd. Als en complexe getallen, zijn definiëren we

Met deze definitie kunnen we ook de afgeleide bepalen van een macht:

Goniometrische en hyperbolische functies[bewerken]

De sinus en cosinus kunnen ook met complexe e-machten gedefinieerd worden. Voor complexe getallen is


Hieruit volgt gemakkelijk dat:

en

De gebruikelijke relaties zijn ook geldig in de complexe analyse:

Hier zijn en complexe getallen.

Verder kunnen de goniometrische functies omgezet worden in hyperbolische en vice versa.

Machtreeksen[bewerken]

Hogere afgeleiden[bewerken]

Zoals eerder opgemerkt is, als een holomorfe functie is op en een punt is in dan is oneindig vaak differentieerbaar in . Verder geldt de volgende gelijkheid voor hogere afgeleides:

Daarin is een gesloten kromme.

Machtreeksen en convergentiestralen[bewerken]

Als een rij is van complexe getallen en een complex getal is, wordt

een machtreeks genoemd om . De machtreeks convergeert in als

convergeert.

De convergentiestraal van de machtreeks is gedefinieerd als:

Hierbij mag ook de waarde oneindig aannemen.

Voor de convergentiestraal geldt:

Als eindig is, definieert men de convergentiecirkel van de machtreeks als de cirkel met middelpunt en straal .

Het blijkt dat de machtreeks convergeert voor elke binnen de convergentiecirkel, en divergeert voor elke erbuiten. Het convergentiegebied omvat dus de open cirkelschijf, en is bevat in de gesloten cirkelschijf. Voor op de convergentiecirkel is het per geval verschillend. Als oneindig is dan convergeert de machtreeks voor elke .

Taylorreeksen[bewerken]

Elke holomorfe functie valt te schrijven als een machtreeks. Als

een machtreeks met convergentiestraal , dan liggen de coëfficiënten vast en wel door:

Hierbij is een pad geparametriseerd door de functie met .

Voorbeelden van taylorreeksen zijn:

Bij deze drie reeksen is de convergentiestraal oneindig.

Ook de meetkundige reeks heeft een complex analogon, waarbij de convergentiestraal net als in het reële geval gelijk is aan 1.

De logaritme heeft ook een machtreeks, maar ontwikkeld om het punt 1. De convergentiestraal is 1.

Integreren[bewerken]

Paden[bewerken]

Een pad of een boog is een deelverzameling van de complexe getallen, zodat , waarbij een complexe functie is: met en reële functies. De functie wordt de parametrizering van genoemd. Als continue afgeleiden heeft in , heet een gladde boog of kortweg glad.

Een voorbeeld van een gladde boog is de verzameling die voortgebracht wordt door de parametrizering met Dit is de eenheidscirkel in het complexe vlak, de cirkel met straal 1 om middelpunt 0. is hier dus een gesloten pad.

Integreren[bewerken]

Zij een parametrizering van een gladde boog en zij een complexe functie waarvoor . De complexe integraal is gedefinierd door:

Hierbij kan geschreven worden, zodat we overhouden

Als een gesloten pad is, schrijft men ook wel

om aan te geven dat over een kring geïntegreerd wordt.

In veel gevallen is het mogelijk voor verschillende parametrizeringen te vinden. Zolang de eindpunten van equivalente parametrizeringen niet verschillen, levert het altijd dezelfde waarde op voor de integraal.

Voorbeeld[bewerken]

Neem het gesloten pad gedefinieerd door de parametrizering met en een geheel getal. Dan is

Als volgt

Anders is

omdat de exponentiële functie een periodieke functie is.

Primitieven[bewerken]

In de reële analyse hebben veel functies een primitieve. Ook in de complexe functietheorie komen primitieven voor.

Definitie[bewerken]

Zij een continue complexe functie. Een holomorfe functie

wordt een primitieve van genoemd, als voor elk complex getal geldt dat .

Hoofdstelling van de integraalrekening[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Hoofdstelling van de integraalrekening voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Met primitieven kunnen we de complexe versie van de hoofdstelling van de integraalrekening formuleren: Zij een gladde kromme in met beginpunt en eindpunt . Als een primitieve is van op , geldt

Primitieven, paden en kringintegralen[bewerken]

Het blijkt dat het hebben van een primitieve een prettige eigenschap is. De volgende uitspraken zijn equivalent:

1) heeft een primitieve. 2) Integralen zijn onafhankelijk van het pad, zolang de begin- en eindpunten hetzelfde zijn (let op, dit is dus sterker dan dat de parametrisering van een pad niets uitmaakt!) Dus als en twee paden zijn met dezelfde begin- en eindpunten geldt er

3) Kringintegralen zijn gelijk aan 0. Dus als een gesloten pad is, geldt er

Oneigenlijke integralen[bewerken]

Met complexe functietheorie kan in sommige gevallen een 'bepaalde integraal', die in de reële analyse niet of nauwelijks berekend kan worden, door uitbreiding naar het complexe vlak vrij eenvoudig berekend worden. Een bekend voorbeeld is .

Een tweede voorbeeld is de stelling van Liouville: holomorfe functies met een begrensd bereik zijn constant. Dit geldt overduidelijk niet in de reële analyse. Zo is de sinus als functie van een reëel getal oneindig vaak differentieerbaar en bovendien begrensd, maar niet constant. De complexe versie is weliswaar oneindig vaak differentieerbaar, maar niet begrensd! Met deze laatste stelling kan de hoofdstelling van de algebra worden bewezen.