Inwendig product

Projectie vector v op vector u

Het inwendig product, ook wel inproduct of scalair product genoemd, van twee vectoren is een scalair, dus het levert een getal op. Het is een begrip uit de lineaire algebra, maar ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren $\mathbf {u}$ en $\mathbf {v}$ gedefinieerd als:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos \theta$

waarin $\theta$ de hoek tussen de vectoren is en $|\mathbf {u} |$ en $|\mathbf {v} |$ respectievelijk de normen van de vectoren $\mathbf {u}$ en $\mathbf {v}$ zijn.

Men noteert het inproduct ook als:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} |\mathbf {v} \rangle$

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren $\mathbf {u}$ en $\mathbf {v}$ elementen zijn van de $\mathbb {R} ^{n}$, de $n$-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

$\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$

en

$\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$

dan kan het inwendig product vastgelegd worden als:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\ldots +u_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$

Deze vorm van het inwendig product heet het standaardinproduct, het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte.

Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefinieerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.

Eigenschappen

• De vectoren $\mathbf {u}$ en $\mathbf {v}$ staan loodrecht op elkaar, dan en slechts dan als hun inproduct gelijk is aan 0. Afhankelijk van de vectorruimte en context kan dit ook dienen als definitie van "loodrecht".
• Het inwendig product van vectoren uit een reële vectorruimte is commutatief: $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}$
• Het inwendig product van twee vectoren in een hogerdimensionale ruimte is gelijk aan dat in het vlak door de vectoren.

Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter alleen bij een reële vectorruimte commutatief.

Algemene definitie

Een inwendig product op een reële vectorruimte $V$ is een positief-definiete symmetrische bilineaire vorm $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R}$. Dat wil zeggen dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda \in \mathbb {R}$ aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

1. bilineariteit:
   • $\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$
   • $\langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle$
   • $\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle$
2. symmetrisch (commutatief): $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle$
3. positief definiet: $\langle x,x\rangle \geq 0$ voor alle $x$ en $\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0$

Een inwendig product of inproduct op een complexe vectorruimte $V$ is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C}$. Dat wil zeggen dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda \in \mathbb {C}$ aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

1. sesquilineair:
   • $\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$
   • $\langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle$
   • $\langle x,\lambda y\rangle ={\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle =\langle {\bar {\lambda }}x,y\rangle$
2. hermitisch: $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$
3. positief definiet: $\langle x,x\rangle \geq 0$ (en dus reëel) voor alle $x$ en $\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0$

Hier is ${\overline {z}}$ de complex geconjugeerde van $z$.

Een vectorruimte met inwendig product is een inwendig-productruimte.

Eindigdimensionale reële vectorruimte

Voor vectoren $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ is

$\langle x,y\rangle =\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}a_{ij}=\sum _{i}x_{i}(Ay)_{i}=x\cdot Ay$,

waarin

$a_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle$

Vanwege de eigenschappen van het inwendige product is de matrix $A=(a_{ij})$ positief-definiet en symmetrisch.

Als $[x]=[x_{1}\,x_{2}\,\ldots \,x_{n}]'$ de kolomvector is met als elementen de coördinaten van $x$, kan men schrijven:

$\langle x,y\rangle =[x]'A[y]$

Vaak schrijft men gewoon

$\langle x,y\rangle =x'Ay$,

waarin stilzwijgend met $x$ en $y$ zowel de vectoren als de overeenkomstige kolomvectoren aangeduid worden.

Omgekeerd induceert elke positief-definiete, symmetrische matrix $A$ een inproduct via de relatie

$\langle x,y\rangle =x\cdot Ay$

Omdat iedere positief-definiete, symmetrische matrix geschreven kan worden als $A=B^{T}B$ met $B$ een inverteerbare matrix, en omgekeerd voor een willekeurige inverteerbare matrix $B$ de matrix $A=B^{T}B$ positief definiet en symmetrisch is, geldt ook:

$\langle x,y\rangle =x'B'By=(Bx)'By$

De matrix $B$ is voor een gegeven $A$ niet uniek bepaald, want de matrix $CB$ met $C$ een orthogonale matrix geeft dezelfde $A$.

Er geldt dus ook met de gewone norm:

$\langle x,x\rangle =\|Bx\|^{2}$

Voor een willekeurige $n$-dimensionale vectorruimte $V$ over de reële getallen met basis $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ en inproduct $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ is het inproduct van twee vectoren

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ en $y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}$:

$\langle x,y\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle$

Bij een orthonormale basis geldt dus $\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$. Deze uitdrukking wordt het standaardinproduct genoemd.

Eindigdimensionale complexe vectorruimte

Voor een willekeurige n-dimensionale vectorruimte $V$ over de complexe getallen met basis $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ en inproduct $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ is het inproduct van twee vectoren

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ en $y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}$:

$\langle x,y\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}{\bar {y_{j}}}\langle e_{i},e_{j}\rangle$.

Bij een orthonormale basis geldt dus $\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y_{i}}}$. Deze uitdrukking is een van de versies van het complexe standaardinproduct.

Voorbeelden

De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:

• in $\mathbb {R} ^{n}$:

$\langle u,v\rangle =\sum _{k=1}^{n}w_{k}u_{k}v_{k}$

waarin $w$ een vector van positieve gewichtsfactoren is;

• in $\mathbb {C} ^{n}$:

$u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}{\bar {u}}_{k}v_{k}$

waarin ${\bar {}}$ staat voor de complex geconjugeerde;

• van matrices:

$A\cdot B=\mathrm {tr} (B^{H}A)$

waarbij tr staat voor het spoor van een matrix, en $H$ staat voor de complex geconjugeerde van de getransponeerde van een matrix, de hermitisch toegevoegde.

Norm

Bij een inproduct op een willekeurige reële of complexe vectorruimte hoort op natuurlijke wijze een norm

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

Een genormeerde vectorruimte waarvan de norm op dergelijke wijze afkomstig is van een inproduct, heet een prehilbertruimte, omdat haar metrische vervollediging een hilbertruimte is.

Het inproduct kan steeds uit de norm worden gereconstrueerd. In een reële prehilbertruimte geldt:

$2\langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle =\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}$

of

$2\langle x,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}$

en ook

$4\langle x,y\rangle =\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}$

In een complexe prehilbertruimte daarentegen geldt:

$4\langle x,y\rangle =\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}$

Eindigdimensionale geval

In $\mathbb {R} ^{n}$ bepaalt een willekeurig inwendig product een norm via de relatie

$\|\mathbf {u} \|={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}=\|B\mathbf {u} \|_{2}$

met $B$ een inverteerbare matrix (zie ook boven).

In $\mathbb {R} ^{n}$ zijn er overigens ook nog andere normen, zoals

$\|\mathbf {u} \|=\|B\mathbf {u} \|_{p}$

voor andere reële waarden van $p\geq 1$.

Voor $n=1$ moet de norm onderscheiden worden van de absolute waarde:

$\|u\|=|u|{\sqrt {\langle 1,1\rangle }}=|u|\|1\|$

(of de eendimensionale vector van de scalar).

Hoek

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz begrenst het inproduct van twee willekeurige vectoren $x,y\in V$ door het product van hun normen:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$

De hoek $\alpha$ tussen $x$ en $y$ wordt gegeven door

$\cos(\alpha )={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}$

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het rechterlid tussen −1 en 1 ligt.

Equivalentie van de beide definities

Afbeelding bij bewijs

In twee dimensies laat het volgende bewijs zien dat de definities

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos \theta$

en

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}$

equivalent zijn. Stel gegeven twee vectoren $u=(u_{1},u_{2})$ en $v=(v_{1},v_{2})$ in het vlak. Te bewijzen:

$v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|v\|\|u\|\cos(\alpha )$

Voor de lengte $L$ van het blauwe lijnstuk in de figuur geldt volgens de stelling van Pythagoras:

$L^{2}=(v_{1}-u_{1})^{2}+(v_{2}-u_{2})^{2}$

Anderzijds volgt uit de cosinusregel:

$L^{2}=\|v\|^{2}+\|u\|^{2}-2\|v\|\|u\|\cos(\alpha )$

Gelijkstellen van de beide uitdrukkingen levert:

$v_{1}^{2}-2v_{1}u_{1}+u_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{2}u_{2}+u_{2}^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\|v\|\|u\|\cos(\alpha )$

waaruit volgt:

$v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|v\|\|u\|\cos(\alpha )$

Het bewijs kan heel gemakkelijk doorgetrokken worden naar hogere dimensies.

Equivalentie van de beide definities door rotatie ten opzichte van het referentieassenstelsel

Indien we bèta als hoek tussen vector v en de horizontale as in beschouwing nemen en gebruik maken van de hoeksom- en hoekverschil-identiteiten:

$u_{1}=\|u\|\cos(\alpha +\beta )=\|u\|(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))$

$u_{2}=\|u\|\sin(\alpha +\beta )=\|u\|(\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha ))$

$v_{1}=\|v\|\cos(\beta )$

$v_{2}=\|v\|\sin(\beta )$

Waaruit ook volgt dat:

$v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|v\|\cos(\beta )\|u\|(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))+\|v\|\sin(\beta )\|u\|(\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha ))$$v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|u\|\|v\|(\cos(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )+\sin ^{2}(\beta )\cos(\alpha ))$

$v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|u\|\|v\|\cos(\alpha )(\cos ^{2}(\beta )+\sin ^{2}(\beta ))$

En bijgevolg equivalent is aan:

$v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|u\|\|v\|\cos(\alpha )$

Merk ook op dat deze formule aan rechterzijde niet afhankelijk is van de hoek bèta ten opzichte van het orthogonale referentieassenstelsel, noch van de oorsprong van dit assenstelsel en aan linkerzijde wel van de oorsprong van het assenstelsel.

Dus ook al zouden we ons referentieassenstelsel over een willekeurige hoek (bèta) draaien, dan blijft het inwendig product even groot:

$v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=v_{1}'u_{1}'+v_{2}'u_{2}'$

'Vrije' vectoren hebben slechts een 'grootte' (En.: 'scalar') en een 'richting' (eventueel een 'zin'), en geen bepaald aangrijpingspunt (in tegenstelling tot 'gebonden' vectoren), vandaar dat we ze steeds naar de oorsprong van het orthogonaal assenstelsel kunnen verplaatsen.

Bij een verplaatsing van de oorsprong van het orthogonale assenstelsel zou deze formule immers niet gelden.

Bovendien maakt het niet uit of je de grootte van de ene vector via de hoek alpha projecteert op de andere vector of omgekeerd:

$u_{v}=\|u\|\cos(\alpha )$

$v_{u}=\|v\|\cos(-\alpha )=\|v\|\cos(\alpha )$ (Gezien: $\cos(-\alpha )=\cos(\alpha )$)

Om dan vervolgens hun groottes met elkaar te vermenigvuldigen om het inwendig product te bekomen:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {v} \|u_{v}=\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {u} \|\cos(\alpha )=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos(\alpha )$

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} =\|\mathbf {u} \|v_{u}=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos(-\alpha )=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos(\alpha )$

Wat maakt dat deze bewerking commutatief is in een reële vectorruimte:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}$

Functieruimten

De functieruimten van reëel- of complexwaardige integreerbare functies op het interval $[a,b]$ zijn voorbeelden van vectorruimten met als mogelijk inwendig product:

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t}$

of met schaalfactor

$\langle f,g\rangle ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t}$,

waarin ${\overline {g(t)}}$ staat voor de complex geconjugeerde van $g(t)$.

Afhankelijk van de keuze van de functieruimte, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte.

Het inwendig product heeft bijvoorbeeld in het eerste geval de bijbehorende norm

$\|f\|={\sqrt {\int _{a}^{b}{|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}}$

en is nuttig als deze norm, toegepast op het verschil van twee functies, een redelijke maat wordt geacht voor de mate waarin de twee functies van elkaar verschillen. Dit kan bijvoorbeeld aan de orde zijn bij de benadering van een functie door een polynoom.

Voorbeeld van een tweedimensionale functieruimte

Een eenvoudig specifiek voorbeeld is een tweedimensionale reële vectorruimte van lineaire functies $f(t)=p+qt$ op het interval [0,1]:

$\langle f_{1},f_{2}\rangle =\int _{0}^{1}{f_{1}(t)f_{2}(t)\,\mathrm {d} t}$;

$f_{1}(t)=p_{1}+q_{1}t$, $f_{2}(t)=p_{2}+q_{2}t$ geeft:

$\langle f_{1},f_{2}\rangle =p_{1}p_{2}+{\tfrac {1}{2}}(p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1})+{\tfrac {1}{3}}q_{1}q_{2}$

$\|f\|={\sqrt {p^{2}+pq+{\tfrac {1}{3}}q^{2}}}$

Met de voor de hand liggende basis $e_{1}(t)=1$, $e_{2}(t)=t$, en dus de coördinaten $p$ en $q$, is het inproduct dus niet het standaardinproduct; met betrekking tot het inproduct is deze basis niet orthonormaal. Dit heeft als consequentie dat als een lineaire functie $f(t)=p+qt$ wordt weergegeven als een punt in een cartesisch coördinatenstelsel met op de horizontale as $p$ en op de verticale as $q$, de afstand tussen twee punten niet correspondeert met de norm van het verschil van de twee functies, of daarmee equivalent: dat de afstand van een punt tot de oorsprong niet correspondeert met de norm van de functie. Bij een scheef assenstelsel, waarbij de basisvectoren een lengte hebben overeenkomstig hun norm (1 en ${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$), en onder een hoek zoals boven gedefinieerd (wat uitkomt op 30°), correspondeert de afstand van een punt tot de oorsprong wel met de norm van de functie.

Hetzelfde wordt bereikt als de basis orthonormaal wordt gemaakt, met $b_{1}(t)=1$ en $b_{2}(t)=2{\sqrt {3}}(t-{\tfrac {1}{2}})$. De coördinaten van de functies veranderen dan (er wordt een coördinatentransformatie, meer specifiek een basistransformatie toegepast), maar de punten blijven op dezelfde plaats liggen als in het scheve assenstelsel, nu in een cartesisch coördinatenstelsel. De nieuwe coördinaten zijn $p+{\tfrac {1}{2}}q$ en ${\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}}\$:

$(p+{\tfrac {1}{2}}q)b_{1}+({\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}})b_{2}=$

$=(p+{\tfrac {1}{2}}q)+({\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}})2{\sqrt {3}}(t-{\tfrac {1}{2}})=$

$=p+qt=f(t)$

Een functie $f(t)=p+qt$ heeft dus de orthogonale componenten

$f_{1}(t)=p+{\tfrac {1}{2}}q$,

waarvoor geldt

$\|f_{1}\|=|p+{\tfrac {1}{2}}q|$

en

$f_{2}(t)=({\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}})b_{2}=q(t-{\tfrac {1}{2}})$,

waarvoor geldt:

$\|f_{2}\|={\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}|q|$

Voor $f(t)=p+qt=(p+{\tfrac {1}{2}}q)+q(t-{\tfrac {1}{2}})$ geldt met toepassing van de stelling van Pythagoras:

$\|f\|={\sqrt {(p+{\tfrac {1}{2}}q)^{2}+({\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}q)^{2}}}={\sqrt {p^{2}+pq+{\tfrac {1}{3}}q^{2}}}$

Inwendig product in de natuurkunde

In de natuurkunde is ook het inwendig product van twee vectoriële grootheden van verschillende soort van belang. Aangezien deze niet bij elkaar opgeteld kunnen worden, kunnen ze niet tot dezelfde vectorruimte behoren. Wel is de hoek tussen de twee vectoren een zinvol begrip; de twee vectorruimten hebben een gemeenschappelijke verzameling richtingen, of gelijkwaardig daarmee: een gemeenschappelijk stel gerichte coördinaatassen, exclusief de "maatverdeling" / schaal.

Voorbeeld

De door een krachtbron bij verplaatsing van een massa geleverde arbeid $W$ is het inwendig product van de uitgeoefende kracht $F$ en de verplaatsingsvector $\Delta {\vec {r}}$:

$W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}$,

of algemener de lijnintegraal over een kromme van A naar B:

$W=\int _{AB}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

Kruisproduct

Het kruisproduct is net als het inwendig product een functie van twee vectoren, maar in tegenstelling tot het inwendig product geeft het kruisproduct geen getal als uitkomst, maar een nieuwe vector. Het kruisproduct van twee vectoren in drie dimensies is de vector die loodrecht op beide vectoren staat, waarvan de grootte gelijk is aan het product van de groottes van de beide vectoren en de sinus van de hoek tussen de twee vectoren en waarvan de richting door de rechterhandregel wordt vastgelegd.