Positief-definiete matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de lineaire algebra wordt een reële -matrix positief-definiet genoemd, als de kwadratische vorm met een kolomvector in de -dimensionale euclidische ruimte, positief-definiet is, dus als als niet gelijk is aan de nulvector.

Meestal wordt verondersteld dat een symmetrische matrix is. Een vierkante matrix kan altijd geschreven worden als de som van een symmetrische matrix en een antisymmetrische matrix , waarin de getransponeerde matrix van is. De matrix is dan en slechts da positief-definiet als het symmetrische deel van positief-definiet is.

Indien in de definitie "" vervangen wordt door "" spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Kenmerken[bewerken]

Hieruit volgt dat de determinant van een positief-definiete matrix strikt positief is (de determinant is gelijk aan het product van de eigenwaarden), en dat dergelijke matrix inverteerbaar is. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is ook positief-definiet.
  • Matrix is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van strikt positief is.
Als een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van strikt positief.
  • Een positief-definiete matrix heeft een unieke decompositie in een benedendriehoeksmatrix (met 1-en op de hoofddiagonaal) en een bovendriehoeksmatrix met niet-nul-elementen op de diagonaal.
De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm waarin een benedendriehoeksmatrix is.
  • Een matrix is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix bestaat zodanig dat

Eigenschappen[bewerken]

Enkele andere eigenschappen van positief-definiete matrices:

  • Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
  • De som van twee positief-definiete -matrices is positief-definiet.
  • Als positief-definiet is, dan is voor elk positief geheel getal ook positief-definiet.
  • Als positief-definiet is, bestaat voor elk positief geheel getal de matrix (d.w.z. er bestaat een matrix zodanig dat ).

Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

zijn beide positief-definiet. Hun product

is echter niet positief-definiet.

Voorbeelden van positief-definiete matrices[bewerken]

Semi-definiete matrix[bewerken]

Men heeft een positief semi-definitieve matrix wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien voor alle niet-zero

Belang[bewerken]

  • De positief-definietheid van de Hessiaan van een scalaire functie van variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

Bronnen[bewerken]