Covariantiematrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een covariantiematrix is in de kansrekening en statistiek een matrix met als elementen de paarsgewijze covarianties van een m-tal toevalsvariabelen of hun schattingen.

Populatie[bewerken]

Betreft het de populatie, en worden de m toevalsvariabelen X1, ..., Xm voorgesteld door de vector X, dan is de covariantiematrix:

\mathrm{cov}(X) = (\mathrm{cov}(X_r,X_k))=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}X)(X-\mathrm{E}X)^T)\,,

dus een m×m-matrix cov(X) met als rk-e element:

(\mathrm{cov}(X))_{rk} =\mathrm{cov}(X_r,X_k).\,

Steekproef[bewerken]

Gaat het om een steekproef van omvang n uit de populatie van de m toevalsvariabelen X1, ..., Xm, dan wordt als schatter van de bovengenoemde covariantiematrix cov(X) vaak de (steekproef)covariantiematrix C berekend, bepaald door de schattingen van de elementen van cov(X), dus:

C_{rk} =\tfrac1{n-1}\sum_i(x_{ri}-x_{r\cdot})(x_{ki}-x_{k\cdot}),\,

waarin een stip als index aangeeft dat over de betrokken index gemiddeld is


Eigenschappen[bewerken]

  • Een (reële) covariantiematrix is symmetrisch en positief semi-definiet.
  • Op de hoofddiagonaal van de covariantiematrix staan de varianties van de afzonderlijke toevalsvariabelen.
  • Voor een m×m-matrix A geldt: \mathrm{cov}(AX) = A\ \mathrm{cov}(X)A^T.
  • Voor verschuiving over een vector b geldt: \mathrm{cov}(X+b) = \mathrm{cov}(X)\,.
  • Als X en Y ongecorreleerde vectoren van toevalsvariabelen zijn, geldt: \mathrm{cov}(X+Y) = \mathrm{cov}(X) +\mathrm{cov}(Y).

Zie ook[bewerken]