Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een covariantiematrix is in de kansrekening en statistiek een matrix met als elementen de paarsgewijze covarianties van een
m
{\displaystyle m}
toevalsvariabelen of hun schattingen .
Betreft het de populatie, en worden de
m
{\displaystyle m}
X
1
,
X
2
,
…
,
X
m
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}}
X
{\displaystyle X}
c
o
v
(
X
)
=
(
c
o
v
(
X
r
,
X
k
)
)
=
E
(
(
X
−
E
X
)
(
X
−
E
X
)
T
)
{\displaystyle \mathrm {cov} (X)=(\mathrm {cov} (X_{r},X_{k}))=\mathrm {E} ((X-\mathrm {E} X)(X-\mathrm {E} X)^{T})}
dus een
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
c
o
v
(
X
)
{\displaystyle \mathrm {cov} (X)}
r
k
{\displaystyle rk}
(
c
o
v
(
X
)
)
r
k
=
c
o
v
(
X
r
,
X
k
)
{\displaystyle (\mathrm {cov} (X))_{rk}=\mathrm {cov} (X_{r},X_{k})}
Gaat het om een steekproef van omvang
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
X
1
,
X
2
,
…
,
X
m
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}}
c
o
v
(
X
)
{\displaystyle \mathrm {cov} (X)}
C
{\displaystyle C}
c
o
v
(
X
)
{\displaystyle \mathrm {cov} (X)}
C
r
k
=
1
n
−
1
∑
i
(
x
r
i
−
x
r
⋅
)
(
x
k
i
−
x
k
⋅
)
,
{\displaystyle C_{rk}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i}(x_{ri}-x_{r\,\cdot })(x_{ki}-x_{k\,\cdot }),}
waarin een stip als index aangeeft dat over de betrokken index gemiddeld is.
Een (reële) covariantiematrix is symmetrisch en positief semi-definiet .
Op de hoofddiagonaal van de covariantiematrix staan de varianties van de afzonderlijke toevalsvariabelen.
Voor een
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
A
{\displaystyle A}
c
o
v
(
A
X
)
=
A
c
o
v
(
X
)
A
T
{\displaystyle \mathrm {cov} (AX)=A\ \mathrm {cov} (X)A^{T}}
Voor verschuiving over een vector
b
{\displaystyle b}
c
o
v
(
X
+
b
)
=
c
o
v
(
X
)
{\displaystyle \mathrm {cov} (X+b)=\mathrm {cov} (X)}
Als
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
c
o
v
(
X
+
Y
)
=
c
o
v
(
X
)
+
c
o
v
(
Y
)
{\displaystyle \mathrm {cov} (X+Y)=\mathrm {cov} (X)+\mathrm {cov} (Y)}
