Kwadratische vorm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra verstaat men onder een kwadratische vorm een afbeelding Q:V\to K van een vectorruimte V naar haar scalairenlichaam K met de eigenschap dat er een symmetrische bilineaire vorm B op V bestaat, zodanig dat:

\forall v\in V:Q(v)=B(v,v).

De bilineaire vorm B heet de met Q geassocieerde bilineaire vorm. De samenhang tussen beide wordt weergegeven door:

B(v,w)=\tfrac 12(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).

Er geldt immers:

\!\,Q(v+w)=B(v+w,v+w)=B(v,v)+B(v,w)+B(w,v)+B(w,w)=
\!\,=2B(v,w)+Q(v)+Q(w).

Het kwadratische karakter van Q blijkt uit (homogeniteit):

\forall v\in V,\lambda\in K:Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v);

Klassieke definitie[bewerken]

De klassieke analytische meetkunde bestudeert onder meer kegelsneden en kwadrieken, dit zijn nulpuntenverzamelingen van inhomogene kwadratische vormen op \mathbb{R}^2 resp. \mathbb{R}^3. De algemene vergelijking van een vlakke kegelsnede luidt:

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.

De functie f is géén kwadratische vorm in de hogergenoemde zin, tenzij d=e=f=0. Het verband tussen kegelsneden en abstracte kwadratische vormen vereist een overgang van \mathbb{R}^2 naar het projectieve vlak \mathbb{R}\mathbb{P}^2. Hierin wordt elk punt weergegeven door een drietal homogene coördinaten (x,y,z)\neq(0,0,0) waarbij twee drietallen hetzelfde punt voorstellen als ze een reëel veelvoud van elkaar zijn. Bovenstaande vergelijking wordt dan herschreven als

\tilde f(x,y,z)=ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0.

Dit is wel degelijk een kwadratische vorm op \mathbb{R}^3. Wegens de homogeniteit bestaat de nulpuntsverzameling uit vectorrechten (eendimensionale deelruimten van \mathbb{R}^3), dus de vergelijking bepaalt ondubbelzinnig een deelverzameling van \mathbb{R}\mathbb{P}^2.

Verband met symmetrische bilineaire vormen[bewerken]

Als de karakteristiek van K verschilt van 2, dan is 1+1 een omkeerbaar element en de kwadratische vorm kan als volgt gereconstrueerd worden aan de hand van B:

\forall v\in V:2Q(v)=B(v,v)

In dergelijke lichamen is de theorie der kwadratische vormen dus hetzelfde als de theorie der symmetrische bilineaire vormen. Het vervolg van dit artikel baseert zich op deze situatie.

Matrix van een bilineaire vorm[bewerken]

Als V een eindigdimensionale vectorruimte is, en \{e_1,\ldots,e_n\} is een basis voor V, dan worden een symmetrische bilineaire vorm B(v,w) en zijn bijhorende kwadratische vorm Q(v)={1\over2}B(v,v) volledig bepaald door de {n(n+1)\over2} getallen

{1\over2}B(e_i,e_j)={1\over2}B(e_j,e_i)\hbox{  }1\leq i\leq j\leq n.

Deze getallen worden gewoonlijk genoteerd in een symmetrische n\times n-matrix.

Voorbeeld[bewerken]

De matrix van de hogergenoemde kwadratische vorm van een kegelsnede ten opzichte van de canonieke basis \left\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right\} is

\begin{bmatrix}
a & b/2 & d/2 \\
b/2 & c & e/2 \\
d/2&e/2&f\end{bmatrix}

Basisovergangen; reguliere vormen[bewerken]

De matrix van een kwadratische vorm is afhankelijk van de gekozen basis. Zij A de matrix met betrekking tot de ene basis, \tilde A de matrix met betrekking tot andere basis en B de matrix die de coördinatentransformatie definieert (de kolommen van B zijn de coördinaten van de nieuwe basisvectoren ten opzichte van de oude basis). Dan geldt

\tilde A=B^t.A.B

Men kan aantonen dat er een basis van V bestaat waarin de matrix diagonaal is (de elementen a_{ij} met i\neq j zijn allemaal 0). De diagonaal-elementen zijn de eigenwaarden van A.

Een kwadratische vorm heet regulier als zijn matrix regulier is, dat wil zeggen dat zijn determinant verschilt van 0. Uit bovenstaande formule blijkt dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen basis, want de coördinatentransformatie B is vanzelf regulier.

Positief definiete kwadratische vormen[bewerken]

Als V een reële vectorruimte is, dan kan men zich beperken tot kwadratische vormen waarvan alle eigenwaarden strikt positief zijn. Dergelijke vormen heten positief definiet.

Een reële kwadratische vorm is positief definiet als en slechts als \forall v\in V\setminus\{0\}:Q(V)>0.

Voorbeeld[bewerken]

Een kegelsnede met vergelijking

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \,

is leeg (de vergelijking heeft geen oplossingen) als haar kwadratische vorm of zijn tegengestelde positief definiet is.