Kwadratische vorm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde verstaat men onder een kwadratische vorm onder meer een homogene veelterm van graad 2, zoals x^2 + 7 xy - 2y ^ 2.

Definitie en relatie met symmetrische bilineaire vorm[bewerken]

Een kwadratische vorm is een afbeelding Q:V\to K van een vectorruimte V naar haar scalairenlichaam K met de eigenschap dat er een symmetrische bilineaire vorm B op V bestaat, zodanig dat:

\forall v\in V:Q(v)=B(v,v).

Voor zo'n B geldt:

\!\,Q(v+w)=B(v+w,v+w)=B(v,v)+B(v,w)+B(w,v)+B(w,w)=
\!\,=2B(v,w)+Q(v)+Q(w).

Als de karakteristiek van K verschilt van 2 dan is deze bilineaire vorm uniek, en heet deze de met Q geassocieerde bilineaire vorm. De samenhang tussen beide wordt dan weergegeven door:

B(v,w)=\tfrac 12(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).

Q is een homogene afbeelding van de tweede graad:

\forall v\in V,\lambda\in K:Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v);

Als van de vectorruimte een basis W is gegeven, dan wordt een kwadratische vorm gegeven door een symmetrische functie S:W\times W \to K die de symmetrische bilineaire vorm bepaalt.

Klassieke definitie[bewerken]

De klassieke analytische meetkunde bestudeert onder meer kegelsneden en kwadrieken, dit zijn nulpuntenverzamelingen van inhomogene kwadratische vormen op \mathbb{R}^2 resp. \mathbb{R}^3. De algemene vergelijking van een vlakke kegelsnede luidt:

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.

De functie f is géén kwadratische vorm in de hogergenoemde zin, tenzij d=e=f=0. Het verband tussen kegelsneden en abstracte kwadratische vormen vereist een overgang van \mathbb{R}^2 naar het projectieve vlak \mathbb{R}\mathbb{P}^2. Hierin wordt elk punt weergegeven door een drietal homogene coördinaten (x,y,z)\neq(0,0,0) waarbij twee drietallen hetzelfde punt voorstellen als ze een reëel veelvoud van elkaar zijn. Bovenstaande vergelijking wordt dan herschreven als

\tilde f(x,y,z)=ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0.

Dit is wel degelijk een kwadratische vorm op \mathbb{R}^3. Wegens de homogeniteit bestaat de nulpuntsverzameling uit vectorrechten (eendimensionale deelruimten van \mathbb{R}^3), dus de vergelijking bepaalt ondubbelzinnig een deelverzameling van \mathbb{R}\mathbb{P}^2.

Matrix van een bilineaire vorm[bewerken]

Als V een eindigdimensionale vectorruimte is, en \{e_1,\ldots,e_n\} is een basis voor V, dan worden een symmetrische bilineaire vorm B(v,w) en zijn bijhorende kwadratische vorm Q(v)=B(v,v) volledig bepaald door de {n(n+1)\over2} getallen

B(e_i,e_j)=B(e_j,e_i)\hbox{  }1\leq i\leq j\leq n.

Deze getallen worden gewoonlijk genoteerd in een symmetrische matrix met grootte n\times n. Omgekeerd correspondeert met elke symmetrische n\times n-matrix een symmetrische bilineaire vorm.

Als de karakteristiek van K verschilt van 2 dan is er een 1-op-1 relatie tussen deze matrices en de kwadratische vormen.

Voorbeeld[bewerken]

De matrix van de hogergenoemde kwadratische vorm van een kegelsnede ten opzichte van de canonieke basis \left\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right\} is

\begin{bmatrix}
a & b/2 & d/2 \\
b/2 & c & e/2 \\
d/2&e/2&f\end{bmatrix}

Basisovergangen; reguliere vormen[bewerken]

De matrix van een kwadratische vorm is afhankelijk van de gekozen basis. Zij A de matrix met betrekking tot de ene basis, \tilde A de matrix met betrekking tot andere basis en C de matrix die de coördinatentransformatie definieert (de kolommen van C zijn de coördinaten van de nieuwe basisvectoren ten opzichte van de oude basis). Dan geldt

\tilde A=C^tA C

Men kan aantonen dat er een basis van V bestaat waarin de matrix diagonaal is (de elementen a_{ij} met i\neq j zijn allemaal 0). De diagonaal-elementen zijn de eigenwaarden van A.

Een kwadratische vorm heet regulier als zijn matrix regulier is, dat wil zeggen dat zijn determinant verschilt van 0. Uit bovenstaande formule blijkt dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen basis, want de coördinatentransformatie C is vanzelf regulier.

Positief definiete kwadratische vormen[bewerken]

Als V een reële vectorruimte is, dan is een kwadratische vorm positief definiet als en slechts als \forall v\in V\setminus\{0\}:Q(V)>0, dit geldt als en slechts als de bijbehorende bilineaire vorm dat is, en als en slechts als alle eigenwaarden strikt positief zijn.

Euclidische ruimte[bewerken]

In de n-dimensionale reële coördinatenruimte is een positief definiete kwadratische vorm van de vorm xTAx, met A een positief-definiete matrix.

Voorbeeld[bewerken]

Een kegelsnede met vergelijking

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \,

is leeg (de vergelijking heeft geen oplossingen) als haar kwadratische vorm of zijn tegengestelde positief definiet is.

Voorbeeld met lichaam met karakteristiek 2[bewerken]

Laat K = {0,1} zijn. Dit is een lichaam met karakteristiek 2. Hierbij geldt niet dat bij een kwadratische vorm Q eenduidig een symmetrische bilineaire vorm B hoort. Laat de vectorruimte V=K^2=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\} zijn, dan zijn er 4 kwadratische vormen en 8 symmetrische bilineaire vormen, waaronder B_1(v,w)=0 en B_2(v,w)=v_1w_2+v_2w_1, beide geassocieerd met Q(v)=0. De afbeelding Q(v)=v_1v_2 is volgens bovenstaande definitie geen kwadratische vorm. Soms wordt in het eindigdimensionale geval een kwadratische vorm als veelterm gedefinieerd, waarbij Q(v)=v_1v_2 wel beschouwd wordt als kwadratische vorm.

Naast de 4 kwadratische vormen, die homogene functies van de tweede graad zijn, zijn er nog 4 homogene functies van de tweede graad.