Symmetrische bilineaire vorm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een symmetrische bilineaire vorm is een bilineaire vorm op een vectorruimte met scalairenlichaam die symmetrisch is, dus met de eigenschap dat voor alle geldt:

Bij de symmetrische bilineaire vorm hoort de kwadratische vorm

Als de karakteristiek van verschilt van 2, is er een een-op-eenrelatie tussen de symmetrische bilineaire vormen en de kwadratische vormen, gegeven door:

Als van de vectorruimte een basis is gegeven, wordt de symmetrische bilineaire vorm geheel bepaald door de beelden van de combinaties van de basisvectoren. Er geldt immers:

Vanwege de symmetrie moet ook gelden:

,

zodat bepaald wordt door een symmetrische functie .

Symmetrische bilineaire spelen een rol in de studie van orthogonale polariteit en van kwadrieken.

Matrixvoorstelling[bewerken]

Bij een eindigdimensionale kan de bilineaire vorm met betrekking tot de basis voorgesteld worden door de -matrix met elementen:

Vanwege de symmetrie van is een symmetrische matrix. De symmetrische bilineaire vorm heet ontaard als de symmetrische matrix een singuliere matrix is.

Met behulp van de matrix kan de bilineaire vorm geschreven worden als:

,

waarin en de coördinatenrijen zijn van respectievelijk en ten opzichte van de basis .

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]