Complex geconjugeerde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Meetkundige weergave van z en zijn geconjugeerde \bar{z} in het complexe vlak.

In de wiskunde is de complex geconjugeerde of complex toegevoegde van een complex getal het complexe getal met hetzelfde reële deel, maar het tegengestelde imaginaire deel. Als men zich een complex getal in het complexe vlak voorstelt, dan is zijn geconjugeerde het om de reële as gespiegelde getal. Wanneer een complex getal en zijn complex geconjugeerde met elkaar worden vermenigvuldigd, is het product een reëel getal.

Definitie[bewerken]

Complexe variabelen worden meestal met een z aangegeven.

De geconjugeerde van het complexe getal,

\!\,z=a+ib

waarin a en b reële getallen zijn, is gedefinieerd als

\!\,\overline{z} = a - ib.

De complexe geconjugeerde van z, hier genoteerd als \bar z, wordt ook wel met z* aangeduid. Hier wordt \bar z gekozen om verwarring met de notatie voor de geadjugeerde matrix van een matrix te voorkomen. Een complex getal kan als een 2×2-matrix worden geschreven.

Voorbeelden:

 \overline{3 - 2i} = 3 + 2i
 \overline{7}=7
 \overline{i} = -i.

Complexe getallen worden vaak afgebeeld als punten in een vlak met een cartesisch coördinatenstelsel. Op de x-as staat het reële deel van het complexe getal uitgezet, op de y-as het imaginaire deel. In deze wijze van voorstellen correspondeert de complex geconjugeerde met een spiegeling in de x-as.

In poolcoördinaten wordt de complex geconjugeerde van

 \!\,r e^{i \phi}

gegeven door :

 \!\,r e^{-i \phi} .

Dit kan met de formule van Euler worden geverifieerd.

Geordende paren van complex geconjugeerden zijn van belang omdat de imaginaire eenheid i kwalitatief niet te onderscheiden is van de additieve- en de multiplicatieve inversei, aangezien beide aan de definitie voor de imaginaire eenheid voldoen: x^2=-1. Wanneer een complex getal de oplossing van een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten is, is de complex geconjugeerde van dat getal de andere oplossing van de vergelijking.

Eigenschappen[bewerken]

De onderstaande eigenschappen zijn, tenzij anders vermeld, van toepassing voor alle complexe getallen z en w.

  •  \overline{\overline{z}} = z
  •  \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}
  •  \overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w}
  •  \overline{zw} = \overline{z}\;\overline{w}
  •  \overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} als w ongelijk is aan nul
  •  | \overline{z} | = |z|
  •  |z|^2 = z\overline{z} = \overline{z}z
  •  \tfrac 12(z + \overline{z}) = Re(z)
  •  \tfrac 1{2i}(z - \overline{z}) = Im(z)
  • De afbeelding die z afbeeldt op \bar z is een involutie.
  • z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} als z ongelijk is aan nul
Met deze formule kan de inverse van een complex getal worden berekend, wanneer deze in cartesische coördinaten is gegeven.
  • \exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!
  • \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\! als z ongelijk is aan nul
  • In het algemeen, als \phi \, een holomorfe functie is, die de reële getallen afbeeldt op reële getallen, en wanneer \phi(z)\, gedefinieerd is, dan geldt
 \phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}\,\!
Als bijgevolg p een polynoom is met reële coëfficiënten en p(z) = 0, dan geldt ook dat p(\overline{z}) = 0. Men kan dus stellen dat de niet-reële wortels van reële polynomen in complex geconjugeerde paren voorkomen.
De functie \phi(z) = \overline{z} van \mathbb{C} naar \mathbb{C} is een homeomorfisme, (waar de topologie op \mathbb{C} geacht wordt de standaard topologie te zijn). Alhoewel dit een wel-gemanierde functie lijkt te zijn, is deze functie niet holomorf, de functie draait de oriëntatie om, terwijl holomorfe functies worden geacht de lokale oriëntatie juist bewaren. De functie is bijectief en is ook compatibel met rekenkundige bewerkingen en is dus een automorfisme. Aangezien de functie de reële getallen op zichzelf afbeeldt, is de functie een element van een Galoisgroep van de uitbreiding \mathbb{C}/\mathbb{R}. Deze Galoisgroep heeft slechts twee elementen: \phi en de identiteit op \mathbb{C}. De enige twee automorfismes van \mathbb{C} die de reële getallen op zichzelf afbeelden zijn dus de identieke afbeelding en de functie die elk getal op zijn complexe geconjugeerde afbeeldt.

Gebruik als variabele[bewerken]

Het paar variabelen z=x+iy=\rho e^{i\theta} en \overline{z} zetten het vlak op, net zoals x,y en \rho en \theta. Verder is \overline{z} bruikbaar bij specificeren van lijnen in het vlak.

\{z:\ z \overline{r} + \overline{z} r = 0 \}

is een lijn door de oorsprong en loodrecht op \overline{r} aangezien het reële gedeelte van z\cdot\overline{r} alleen gelijk is aan nul, wanneer de cosinus van een hoek tussen z en \overline{r} nul is. Op gelijke wijze geldt voor een vaste complexe eenheid u = exp(b i), de vergelijking:

\frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u

bepaalt de lijn door z_0 in the richting van u.

Veralgemeningen[bewerken]

De andere planaire reële algebra's, duale getallen en split-complexe getallen kunnen ook worden uitgelegd door gebruik te maken van de complexe geconjugeerde.

De geadjugeerde matrix van een complexe matrix is de algemene vorm het begrip complex geconjugeerde. Nog algemener is het concept van de toegevoegde operator voor operatoren op (mogelijk oneindig-dimensionale) complexe Hilbertruimten. Dit is alles is ondergebracht bij de *-operaties van de C*-algebra's.

Men kan ook een geconjugeerde definiëren voor de quaternionen en de coquaternionen: de geconjugeerde van

 \!\,a + bi + cj + dk

is

 \!\,a - bi - cj - dk .

Merk op dat al deze generalisaties alleen multiplicatief zijn als de factoren omdraaien:

 {\left(zw\right)}^* = w^* z^*.

Aangezien de vermenigvuldiging van planaire reële algebra's commutatief is is deze omdraaiing hier echter niet nodig.

Er is ook een abstract begrip van de conjugatie van vectorruimten V over de complexe getallen. In deze context, enige (reële) lineaire transformatie \phi: V \rightarrow V die voldoet aan

  1. \phi\neq id_V, de identiteitsfunctie op V,
  2. \phi^2 = id_V\,, en
  3. \phi(zv) = \overline{z} \phi(v) voor alle vV, z\in{\mathbb C},

wordt de complex geconjugeerde genoemd. Een voorbeeld van zo'n begrip is de gadjungeerde van een complexe matrix, zoals hierboven gedefinieerd. Tenslotte moet worden opgemerkt dat er op algemene complexe vectorruimten geen kanonieke notie van een complex geconjugeerde bestaat.