Quaternion

Gedenkplaat van steen in Dublin, waarin Hamilton de vermenigvuldigingsregels voor quaternionen kraste

De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen, en aldus een vierdimensionale uitbreiding van de reële getallen. Quaternionen werden in 1843 geïntroduceerd door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton voor toepassing in de mechanica.

Een quaternion q wordt voorgesteld door vier reële getallen a, b, c en d:

$q=a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k$.

waarin naast de eenheden 1 en i die al bekend zijn uit de complexe getallen nog twee eenheden j en k voorkomen. Voor deze eenheden gelden de volgende rekenregels:

$i^2 = j^2 = k^2 = i\cdot j\cdot k = -1$

en daaruit volgt ook dat:

$i\cdot j = -j\cdot i = k$

$j\cdot k = -k\cdot j = i$

$k\cdot i = -i\cdot k = j$

De vermenigvuldiging van de eenheden i, j en k onderling is dus niet commutatief, de vermenigvuldiging met −1 wel.

Met de rekenregels kan het product van twee quaternionen x en y berekend worden:

$(a_1 + b_1\cdot i + c_1\cdot j + d_1\cdot k) \cdot (a_2 + b_2\cdot i + c_2\cdot j + d_2\cdot k) =$

$\!=(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2)$

$\!+\ (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)\cdot i$

$\!+\ (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)\cdot j$

$\!+\ (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)\cdot k.$

De vermenigvuldiging van quaternionen is dus niet commutatief, want xy is niet altijd hetzelfde als yx. Dit lijkt op het eerste gezicht bijzonder, maar dit is bijvoorbeeld ook het geval voor matrices.

Quaternionen vinden toepassing om te beschrijven hoe twee identieke voorwerpen in de ruimte op elkaar kunnen gebracht worden. Ook bij rotaties in vier dimensies spelen ze een rol. De meest bekende toepassing van quaternionen is de relatieve plaatsbepaling in driedimensionele (grafische) computerprogramma's. Een andere toepassing vormt de "attitude"-beschrijving in de ruimtevaart: hoe twee ruimtetuigen ten opzichte van elkaar bewegen om ze te koppelen. Een andere belangrijke toepassing bevindt zich in de robotica, bijvoorbeeld om te lassen in de automobielnijverheid. Met quaternionen wordt berekend, hoe de robotarm in zijn gewrichten moet draaien om een naad te lassen op een gekromd onderdeel.

De quaternionen zelf kunnen weer uitgebreid worden naar octonionen, maar de bewerking van de octonionen is niet meer associatief.

Net als bij complexe getallen kan er een norm of lengte aan een quaternion toegekend worden:

$|q| = \sqrt {a^2+b^2+c^2+d^2}$

Er is ook een geconjugeerde quaternion

$q*=a-b\cdot i-c\cdot j-d\cdot k$.

En er geldt dat q*q= |q|²

• Een quaternion van lengte 1 is een eenheidsquaternion.
• Een quaternion waarvan het reële deel (a) nul is is een pure quaternion.
• Een pure eenheidsquaternion u combineert deze twee eigenschappen

Pure quaternionen kunnen gezien worden als vectoren in 3D en pure eenheidsquaternionen vormen een bol met straal 1 in deze ruimte.

In analogie van de Formule van Euler bij complexe getallen:

$e^{i \alpha} = z = \cos(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot i$

kan iedere eenheidsquaternion geschreven worden als

$q/|q| = \cos(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot u$

waar u een pure eenheidsquaternion is.

Eenheidsquaternionen vormen een groep die isomorf is met de groep van alle rotaties in 3D. Dat wil zeggen dat zij onderling hetzelfde gedrag vertonen bij vermenigvuldiging. Daarom kunnen zij gebruikt worden om een punt (x,y,z) in 3D te roteren om een as in deze ruimte.

Daartoe wordt een pure quaterion p = (0,x,y,z) voor het punt gevormd alsmede een rotatiequaternion q. Daartoe wordt een pure eenheidsquaternion u genomen in de vectoriële richting van de rotatieas en gecombineerd met de cosinus en sinus van de halve draaiinghoek rond de as.

De rotatie is dan uit te rekenen met het product : p' = q*pq.

De nieuwe quaternion p' is opnieuw een pure quaternion (0,x',y',z'), die de coördinaten van het nieuwe punt bevat.

Er zijn andere manieren om rotaties uit te voeren, bijvoorbeeld met de hoeken van Euler, maar die hebben vanuit het oogpunt van een software ontwikkelaar een groot nadeel: er ontstaat dan een pool, een singulier punt waar de hoeken niet meer eenduidig bepaald zijn. Dit probleem staat bekend als Gimbal lock. Rotaties met behulp van quaternionen hebben dit probleem niet en dat is de voornaamste reden waarom deze wiskunde die meer dan een eeuw vrijwel ongebruikt in de kast gelegen had zich sinds de jaren 1990 in hernieuwde belangstelling mag verheugen.

Zie ook

• Clifford-algebra