De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen, en daarmee een vierdimensionale uitbreiding van de reële getallen. Quaternionen werden in 1843 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton geïntroduceerd voor toepassing in de mechanica. Naar hem wordt de verzameling van de quaternionen wel aangeduid met het symbool
.
Quaternionen worden in computerprogramma's voor relatieve oriëntatiebepaling in drie dimensies gebruikt. Zij zijn geschikt voor de beschrijving van een rotatie in de driedimensionale ruimte die twee congruente voorwerpen in elkaar doet overgaan. Met een quaternion gaat dit veel beter dan met eulerhoeken (rollen, stampen, gieren), omdat een kleine verandering van oriëntatie altijd een kleine verandering in de vier reële coördinaten geeft, waar hoeken bijvoorbeeld soms plotseling van 359° naar 1° verspringen met alle problemen in software van dien.
Technische toepassingen vormen bijvoorbeeld de beschrijving in de ruimtevaart voor de koppeling van twee ruimtevaartuigen. In de robotica beschrijven quaternionen bij het lassen in de automobielindustrie de bewegingen van de robotarm.
Stenen gedenkplaat in Dublin, met daarin door Hamilton de vermenigvuldigingsregels voor quaternionen gekrast.
Een quaternion is een uitdrukking van de vorm
,
waarin
en
reële getallen zijn en waarin naast de eenheden 1 en de imaginaire eenheid
die al bekend zijn uit de complexe getallen, en waarvoor geldt:
,
nog twee eenheden
en
voorkomen die voldoen aan de relaties:






Het getal
heet het reële of scalaire deel van de quaternion
en de quaternion
het imaginaire deel, of, opgevat als vector
, het vectordeel.
Let op: Anders dan voor complexe getallen, waarvoor
, geldt voor quaternionen:

Een quaternion waarvan het reële deel 0 is, heet zuiver imaginair. Voor zuiver imaginaire quaternionen
geldt:

Optellen en vermenigvuldigen van quaternionen gaat hetzelfde als bij de reële getallen onder inachtneming van deze relaties.
Voor de optelling van twee quaternionen
en
geldt:

De optelling is zowel commutatief als associatief.
De vermenigvulding is distributief over de optelling. Dat houdt in dat het product van de som van de termen gelijk is aan de som van de producten van de afzonderlijke termen. Het product van twee quaternionen kan dus op de gebruikelijke manier termsgewijs berekend worden.
Wegens de distributiviteit kan met de rekenregels het product, ook hamiltonproduct genoemd, van twee quaternionen
en
berekend worden:




Aangezien de eenheden onder de vermenigvuldiging wel commutatief zijn met de reële getallen, maar niet onderling, is de vermenigvuldiging niet commutatief. Bijvoorbeeld is:

De vermenigvuldiging is associatief, d.w.z. voor alle
, en analoog
en
is:

Dat is omdat de termen met het product van
en
in beide hetzelfde zijn. Bijvoorbeeld zijn in
en
respectievelijk de termen

en

aan elkaar gelijk.
Dat geldt ook voor alle andere dergelijke termen, want





Net als bij complexe getallen kan er een norm of lengte aan een quaternion toegekend worden:

Van de quaternion
is de geconjugeerde quaternion
of
:

Anders geformuleerd:

Omdat

volgt:

en

Direct is ook te zien dat voor een quaternion
, die dus ook als complex getal is op te vatten, de geconjugeerde hetzelfde is als de complex geconjugeerde.
Ook gelden de eigenschappen:


, voor reële 


Verder geldt:

Uit bovenstaande eigenschap van de geconjugeerde quaternion, volgt voor de reciproque:
,
dus

Een quaternion met norm 1 heet eenheidsquaternion.
Zuivere eenheidsquaternionen vormen een bol met straal 1 in deze ruimte.
Naar analogie met de formule van Euler bij complexe getallen:

kan iedere eenheidsquaternion
geschreven worden als

met de zuivere eenheidsquaternion

en

Voor zuivere eenheidsquaternionen
geldt uiteraard:

Daaruit volgt

Ook voor quaternionen bestaat een generalisatie van de e-macht. Deze wordt gedefinieerd via de machtreeks:

Omdat voor een zuiver imaginaire eenheidsquaternion
geldt:

is voor

Een wilekeurige quaternion
met
en
kan geschreven worden in de vorm:

waarin
een zuiver imaginaire eenheidsquaternion is.
Bijgevolg is:

Aangezien quaternionen vectoren in de
zijn, kan ook een inproduct gedefinieerd worden. Ook is een kruisproduct gedefinieerd.
Laat
en
twee quaternionen zijn.
Het inproduct van
en
is de gebruikelijke som van de producten van de kentallen:

Het kruisproduct van
en
is het gebruikelijke kruisproduct van hun vectoriële delen
en
:

Dit is gelijk aan:

Uit deze eigenschap volgt dat
en
verwisselbaar zijn, dus dat
, alleen dan als
. Dat houdt in dat
en
lineair afhankelijk zijn, dus in elkaars verlengde liggen.
Het product van twee quaternionen kan uitgedrukt worden in termen van het inproduct en het kruisproduct:

In het bijzonder blijkt daaruit dat voor zuiver imaginaire quaternionen
en
geldt:
,
dus met reëel deel minus het inproduct en met vectordeel het kruisproduct.
Quaternionen als uitbreiding van de complexe getallen[bewerken | brontekst bewerken]
Net als de complexe getallen als uitbreiding van de reële getallen opgevat worden onder de introductie van de imaginaire eenheid
, kunnen de quaternionen als uitbreiding van de complexe getallen gezien worden onder introductie van de eenheden
en
.
Een quaternion is een uitdrukking van de vorm

waarin
en
complexe getallen zijn en
een bijzondere quaternion waarvoor geldt:


Daaruit volgt noodzakelijk het bestaan van nog een eenheid
,
met

Verder gelden de eigenschappen:




Uit deze regels volgt voor complexe getallen
:



Daarin is
de complex geconjugeerde van
.
Daaruit volgt weer voor de vermenigvuldiging:

Een quaternion
wordt dus bepaald door twee complexe getallen, en kan dan ook voorgesteld worden als het paar complexe getallen:

met de rekenregels:

en

De eenheden zijn dan, als paar complexe getallen:

Uitgescheven als vector van reële getallen:

Quaternionen kunnen ook voorgesteld worden als complexe 2×2-matrix:

Optellen en vermenigvuldigen gaat dan als bij matrices. Bijvoorbeeld:

Op analoge wijze kan een quaternion
als reële 4×4-matrix voorgesteld worden:

![{\displaystyle =a\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]+b\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]+c\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]+d\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7a2ecc96de7b81a74b7d5e837fa6da0d8a44f1)
In deze voorstelling is dus:
![{\displaystyle 1=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\!\!,\,i=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\!\!,\,j=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\!\!,\,k=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244ccd2894423bab0372fa4884059ff91de07cb8)
De geconjugeerde quaternion is in deze voorstelling de getransponeerde matrix. Verder is de determinant:
,
zodat
![{\displaystyle |q|={\sqrt[{4}]{\det(q)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a8815b3e73004c818e6844140febfdea08842b)
Iedere eenheidsquaterion
kan op eenduidige manier geschreven worden als:

Daarin is
de poolhoek van
, waarvoor geldt:

en

een zuivere eenheidsquaternion.
Een willekeurige niet-reële quaternion
kan geschreven worden als:

waarin
een eenheidsquaternion is.
Daarmee wordt de polaire notatie voor
:

Met behulp van de verderop in dit artikel besproken e-macht kan nog geschreven worden:

De quaternionen (
)vormen een delingsring (Ned) / lichaam (Be), een vierdimensinale reële vectorruimte over de reële getallen (
), waarvan de eenheden
en
de eenheidsvectoren zijn, en een tweedimensionale vectorruimte over de complexe getallen (
). De quaternionen zelf kunnen weer naar de octonionen (
)worden uitgebreid, maar de bewerking van de octonionen is niet meer associatief.
Zij zijn op de volgende manier een deelverzameling van elkaar:
Deze getalverzamelingen voldoen aan steeds minder eigenschappen.
De eenheden
en
en hun tegengestelden vormen onder de bewerking vermenigvuldiging een groep: de quaternionengroep.
Eenheidsquaternionen vormen een groep die isomorf is met de groep van rotaties in drie dimensies. Dat wil zeggen dat zij onderling hetzelfde gedrag vertonen bij vermenigvuldiging. Daarom kunnen zij gebruikt worden voor het beschrijven van rotaties in de ruimte om een as in deze ruimte.
Een rotatie wordt beschreven door een rotatiequaternion
,
waarin
de zuivere eenheidsquaternion is in de vectoriële richting van de rotatieas en
de halve draaiinghoek rond de as.
Een punt
wordt beschreven door de zuiver imaginaire quaternion
en zijn beeld onder de rotatie door
, met als vectordeel het geroteerde punt
.
Er zijn andere manieren om rotaties vast te leggen, bijvoorbeeld met de hoeken van Euler, maar die hebben bij de berekening een nadeel: er ontstaat een pool, een singulier punt waar de hoeken niet meer eenduidig bepaald zijn. Dit probleem staat bekend als gimbal lock. Rotaties met behulp van quaternionen hebben dit probleem niet en dat is de voornaamste reden waarom deze wiskunde, die meer dan een eeuw vrijwel ongebruikt in de kast gelegen had, zich sinds de jaren 1990 in hernieuwde belangstelling mag verheugen.
Het punt
wordt om de z-as geroteerd over een hoek van 60°. De z-as wordt bepaald door de eenheidsquaternion:

en de rotatie door

met

en

Het beeld
van
is het vectoriële deel van:



dus
