Constante van Gelfond

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het getal e^\pi, oftewel e tot de macht \pi, wordt de constante van Gelfond genoemd. De numerieke waarde bedraagt bij benadering 23,1406926...

De constante kan ook geschreven worden als:

(-1)^{-i},

waarin i de imaginaire eenheid is.

Definieert men

k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}

en voor n>0

k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}},

dan convergeert [1]

\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}


snel naar e^\pi.

Eigenschappen[bewerken]

Het getal e^\pi is een transcendent getal. Dit werd aangetoond door Aleksander Gelfond aan de hand van de stelling van Gelfond-Schneider.

Het is opmerkelijk dat van andere combinaties van e en \pi zoals \pi + e, \pi e of \pi^e (nog) niet bekend is of die transcendent of zelfs maar irrationaal zijn.