Priemtweeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek van het aantal priemtweelingen

Priemtweelingen zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+2, waarbij zowel p als p+2 een priemgetal zijn. Voorbeelden hiervan zijn 3 en 5, 5 en 7, en 17 en 19.

Vermoeden[bewerken]

Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Hier is echter (nog) geen bewijs voor. Wel heeft de Chinese wiskundige Yitang Zhang inmiddels aangetoond dat er een getal d kleiner dan 70 miljoen moet zijn, waarvoor geldt dat er oneindig veel paren priemgetallen zijn van de vorm p en p+d. Inmiddels is aangetoond dat er een dergelijk getal d moet zijn kleiner of gelijk aan 246.[1]

Criterium[bewerken]

De getallen p en p+2 zijn beide priemgetallen dan en slechts dan als p + 4 + 4·(p−1)! deelbaar is door p zowel als p+2. Dit criterium is niet eenvoudig te gebruiken doordat faculteiten al gauw enorm groot zijn.

Constante van Brun[bewerken]

Ook al weet men niet of er oneindig veel priemtweelingen zijn, wel weet men dat de som

B_2 =\sum_{p\mathrm{\,en\,}p+2\mathrm{\,priem}} \left(\frac 1p + \frac 1{p+2}\right)

convergeert. Dit terwijl

\sum_{p\mathrm{\,priem}} \frac 1p

divergeert (niet convergeert).

Het getal B2 wordt de constante van Brun genoemd.[2]

Grootst bekende priemtweelingen[bewerken]

Op 15 januari 2007 werd een nieuwe priemtweeling gevonden. Met 58 711 cijfers is dit 2,5 jaar lang de grootste bekende priemtweeling geweest:

2 003 663 613 × 2195 000 – 1 en 2 003 663 613 × 2195 000 + 1.

De toen grootste priemtweeling werd gevonden op 25 juli 2009, dit door de gebruikers van een project met de naam PrimeGrid. Het heeft 100 355 cijfers

65 516 468 355 × 2333 333 – 1 en 65 516 468 355 × 2333 333 + 1.

Op 25 december 2011 is er nog een grotere priemtweeling gevonden door PrimeGrid. Het gaat om de 200 700 cijfers tellende getallen:

3 756 801 695 685 × 2666 669 – 1 en 3 756 801 695 685 × 2666 669 + 1.

Momenteel zoekt PrimeGrid niet meer actief naar priemtweelingen.

Lijst met eerste priemtweelingen[bewerken]

De eerste priemtweelingen zijn:

Trivia[bewerken]

Priemdrielingen, d.w.z. drie opeenvolgende priemgetallen met alleen even getallen er tussen, laat staan priem-vierlingen, bestaan niet (met uitzondering van de reeks 3-5-7). Een willekeurige reeks van drie opeenvolgende oneven getallen zal immers altijd één (maar ook nooit meer dan één) veelvoud van 3 bevatten. Een priemtweeling wordt (met uitzondering van de tweeling 3-5) zodoende altijd voorafgegaan en gevolgd door een oneven getal dat door 3 deelbaar is.

De som van de twee getallen van een priemtweeling is (met uitzondering van de tweeling 3-5) altijd deelbaar door 12; immers uit de eigenschappen van de reeks veelvouden van 3 volgt dat behalve het voorafgaande en het volgende oneven getal ook het getal tussen de twee priemtweelinggetallen een veelvoud van 3 is, en tevens een even getal, dus altijd deelbaar moet zijn door 6. De som is twee maal dit gemiddelde, dus deelbaar door 12.

Priemtweelingen in boeken[bewerken]

Externe link[bewerken]