Faculteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000

De faculteit van een natuurlijk getal n, genoteerd als n! (n faculteit), is gedefinieerd als het product van de getallen 1 tot en met n:

 n!=\prod_{k=1}^n k = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n

Dit is het product van de getallen van 1 tot en met n. Recursief geldt dus voor de faculteit:

n!  = n(n-1)!

In overeenstemming met de definitie van het lege product, is afgesproken dat

0! = 1

De faculteitsfunctie groeit snel, zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden, met nul, staan hiernaast. Het aantal decimalen van n!, met n > 1, is gelijk aan log 1 + ... + log n naar boven afgerond.

\lceil \log n! \rceil = \left \lceil \sum_{i=1}^n \log i \right \rceil

Voor n = 1 000 komt het aantal decimalen op 2 568.

Voorbeeld[bewerken]

Het delen van twee faculteiten die dicht bij elkaar liggen, levert:

\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = n\ (n+1)

Toepassing[bewerken]

Een belangrijke toepassing van de faculteit is in de combinatoriek, als antwoord op de vraag op hoeveel manieren n elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er n!. Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid.

Benadering[bewerken]

n n! benadering door Stirling
10 3 628 800 3 598 695,624
20 0,24329 · 1019 0,2422 · 1019
30 0,26525 · 1033 0,2645 · 1033
40 0,8159 · 1048 0,8142 · 1048
50 0,3041 · 1065 0,3036 · 1065
100 0,9333 · 10158 0,9325 · 10158
1000 4,024 · 102567 4,024 · 102567
10 000 2,846 · 1035 659 2,846 · 1035 659

Voor grote waardes van n, kan men de faculteit van dat getal ook benaderen met behulp van de formule van Stirling:

n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Voor kleine waarden van n is de benadering slecht; voor n=1 geldt bijvoorbeeld:

1!=1, maar \sqrt{2\pi\cdot 1}\left(\frac{1}{e}\right)^1= 0{,}92214...

Onderstaande tabel geeft voor een aantal waarden voor n de bijhorende waarde voor n! en de benadering volgens Stirling:

Gammafunctie[bewerken]

Grafiek van de Gammafunctie

De gammafunctie

\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

\!\Gamma(n+1) = n!

De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen −1, −2, −3, ... .

Met de computer[bewerken]

Voorbeeld in de programmeertaal PHP dat een HTML-fragment produceert:

$max = 20;
$nArray[0] = 1;

for ($n = 1; $n <= $max; $n++)
	$nArray[$n] = ($nArray[($n - 1)] * $n);

foreach ($nArray as $key => $value)
	print $key . ' ' . $value . '<br />';

In C++:

int input = 10;
int antwoord = 1;
for (int i = 1; i <= input; i++)
	antwoord *= i;
std::cout << "De faculteit van " << i << " is: " << antwoord;

In Visual Basic

Dim intA As Double
Dim intB As Integer
Dim intC As Double
intA = 10
intC = 1
For intB = 2 To intA
    intC = intC * intB
Next
MsgBox ("De faculteit van " & intA & " is: " & intC)

Zie ook[bewerken]