Formule van Stirling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Stirling-afwijking.png

De formule van Stirling is een benadering voor de faculteit van grote getallen. De formule luidt:

n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac ne \right)^n \!

Dit betekent ruwweg dat het rechterlid voor voldoende grote n als benadering geldt voor n!. Om precies te zijn:

\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1. \!

De formule is het resultaat van de eerste drie termen uit de ontwikkeling:


 \ln (n!)=n\ln (n) - n + {1\over 2}\ln(2\pi n)
 +{1\over12n}
 -{1\over360n^3}
 +{1\over1260n^5}
 -{1\over 1680n^7}
 +\cdots .\!

De formule komt ook voor met alleen de eerste twee termen:

\ln(n!) \sim n \; \ln(n) - n \,

wat asymptotisch gelijkwaardig is.

Deze formule werd ontdekt door De Moivre in een iets andere vorm, namelijk:

n! \sim c \; \sqrt{n} \; \left(\frac ne \right)^n.

James Stirling, naar wie de formule genoemd is, toonde aan dat de constante c gelijk is aan \sqrt{2 \pi}.

Enkele waarden[bewerken]

In de onderstaande tabel staan ter vergelijking voor enkele waarden van n de relevante grootheden opgesomd.

n ln(n!) n ln(n) - n fout
10 15 13 13%
30 75 72 4%
50 148 146 1.4%
100 363 360 0.8%
1000 5912 5907 0.1%
10000 82108.9 82103.4 < 0.01%

Toepassingen[bewerken]

De formule is in praktijk belangrijk voor veel toepassingen in de thermodynamica en vandaar ook in de scheikunde (thermochemie).