Product (wiskunde)

In de wiskunde is een product het resultaat van een vermenigvuldiging, of een uitdrukking die de vermenigvuldiging van de factoren laat zien. De volgorde waarin reële- of complexe getallen worden vermenigvuldigd heeft geen invloed op het product; dit staat bekend als de commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging. Als matrices of leden van verschillende andere associatieve algebra's worden vermenigvuldigd, hangt het product meestal af van de volgorde waarin fde actoren met elkaar vermenigvuldigd worden. Met andere woorden matrixvermenigvuldiging en de vermenigvuldigingen in deze andere algebra's, zijn in het algemeen niet-commutatief.

Notatie

De operator voor een product wordt voorgesteld door de Griekse hoofdletter $\Pi$ (Pi), dit naar analogie van het gebruik van de hoofdletter $\Sigma$ (Sigma) als symbool voor een sommatie).

Het product van de elementen $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ wordt genoteerd als:

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots \cdot a_{n}$

Evenzo noteert men het product van de elementen $a_{m},a_{m+1},a_{m+2},\ldots ,a_{n}$ als

$\prod _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot a_{m+2}\cdot \ldots \cdot a_{n}$

en voor een oneindig product:

$\prod _{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots$

Leeg product

Het lege product is het product zonder enige term. Bij afspraak wordt dit gelijkgesteld aan de multiplicatieve eenheid 1. Deze afspraak maakt het mogelijk diverse formules ook voor het getal 0 te handhaven.

Voorbeeld

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}=a_{n}\prod _{i=1}^{n-1}a_{i}$

zodat:

$\prod _{i=1}^{2}a_{i}=a_{2}\prod _{i=1}^{1}a_{i}=a_{2}\cdot a_{1}$

$\prod _{i=1}^{1}a_{i}=a_{1}\prod _{i=1}^{0}a_{i}=a_{1}\cdot 1=a_{1}$

Ook bij de definitie van faculteit wordt dit toegepast:

$n!=\prod _{i=1}^{n}i$

$0!=\prod _{i=1}^{0}i=1$

Andere betekenissen

Er zijn diverse productbegrippen:

• producten van verschillende klassen van getallen
• scalaire vermenigvuldiging
• het inwendig product en het kruisproduct zijn vormen van vermenigvuldiging van vectoren. Hieraan gerelateerde producten zijn:
  • tensorproduct
• het product van matrices; zie matrixvermenigvuldiging.
• producten in vele typen ringen en velden..
• het is vaak mogelijk een product te vormen uit twee (of meer) wiskundige objecten en daaruit een ander object van hetzelfde type te verkrijgen;
  • het cartesisch product van twee verzamelingen

Zie ook

• Vermenigvuldigen
• Sommatie
• Pi (letter)