Praktisch getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een positief geheel getal wordt in de getaltheorie gedefinieerd als een praktisch getal wanneer elk geheel getal van 1 tot geschreven kan worden als een som van verschillende delers van . Er zijn oneindig veel praktische getallen. De eerste praktische getallen zijn:[1]

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

Bijvoorbeeld: 12 is een praktisch getal want de getallen 1 tot en met 12 kunnen geschreven worden als een som van verschillende delers van 12. De delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12 en verder geldt dat 5=2+3, 7=4+3, 8=2+6, 9=3+6, 10=4+6 en 11=1+4+6.

De Indische wiskundige A.K. Srinivasan introduceerde in 1948 de naam "praktisch getal".[2]

Bepalen van praktische getallen[bewerken]

Of een gegeven getal een praktisch getal is, kan men bepalen aan de hand van zijn ontbinding in priemfactoren. Zij deze ontbinding met en met de priemfactoren

Dan is een praktisch getal dan en slechts dan als en, voor elke van 2 tot ,

waarin de som van de delers van is.

Deze stelling werd bewezen door B.M. Stewart in 1954[3] en Wacław Sierpiński in 1955.[4]

Voorbeelden[bewerken]

  • 2 is een praktisch getal en elke macht van 2 is dat ook.
  • Elk even perfect getal is een praktisch getal.
  • Elke primoriaal, het product van de eerste priemgetallen, is een praktisch getal.

Enkele eigenschappen[bewerken]

  • Alle praktische getallen vanaf 2 zijn even.
  • Elk praktisch getal groter dan 2 is een veelvoud van 4 of 6.
  • Als een praktisch getal is, is ook een praktisch getal.
  • Er zijn oneindig veel trio's van getallen die alle drie praktische getallen zijn.[5]
  • Noem het aantal praktische getallen die niet groter zijn dan . De orde van grootte van is .[6]

Overeenkomst met de priemgetallen[bewerken]

De verzameling van de praktische getallen en van de priemgetallen hebben veel hetzelfde. Ze hebben op het eerste gezicht een zelfde soort verdeling en de verschillen tussen opeenvolgende getallen houden gelijke tred. Er zijn oneindig veel "tweelingen", twee opeenvolgende praktische getallen met een verschil van twee, die ongeveer dezelfde verdeling hebben als dat het geval is bij de priemgetallen.[7] Voor praktische getallen is een stelling, die met het vermoeden van Goldbach overeenkomt: elk even positief geheel getal is een som van twee praktische getallen.[5] Het is ook bewezen dat er oneindig veel "praktische Fibonaccigetallen" zijn.[8] Er is voor priemgetallen een dergelijke stelling nog niet bewezen.