Rekenkundig getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een natuurlijk getal n is een rekenkundig getal wanneer het rekenkundig gemiddelde van zijn delers een geheel getal is.

Het rekenkundig gemiddelde van de delers van n noemt men de rekenkundige functie A(n):

A(n) = σ(n) / d(n)

Hierin is σ(n) de som van alle positieve delers van n en d(n) het aantal positieve delers van n. Wanneer A(n) een geheel getal is, dus wanneer d(n) een deler is van σ(n), is n een rekenkundig getal.

Voorbeeld: 14 heeft als delers 1, 2, 7 en 14. Het rekenkundig gemiddelde daarvan is (1+2+7+14)/4 = 6, dus 14 is een rekenkundig getal. 12 is geen rekenkundig getal want de som van de delers van 12 is (1+2+3+4+6+12) = 28 en 28/6 is geen geheel getal.

De eerste rekenkundige getallen zijn:

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ...[1]

De functie A(n) is een multiplicatieve functie. Immers σ(n) en d(n) zijn ook multiplicatieve functies. Hieruit volgt dat wanneer twee rekenkundige getallen relatief priem zijn, hun product ook een rekenkundig getal is.

Elk oneven priemgetal p is een rekenkundig getal; immers de delers ervan zijn 1 en p en A(p) = (p +1)/2 is een geheel getal omdat p+1 een even getal is. 2 is geen rekenkundig getal en geen enkele macht van 2 is een rekenkundig getal.[2]

De asymptotische dichtheid van de verzameling van rekenkundige getallen is gelijk aan 1.[3]

Voor elk getal N bestaat er een geheel getal m zodanig dat A(n) = m ten minste N oplossingen heeft.[3]