Mersennepriemgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een mersennepriemgetal is een mersennegetal dat een priemgetal is. In de wiskunde is een mersennegetal een positief geheel getal dat precies één kleiner is dan een macht van twee:

Sommige definities van mersennegetallen vereisen dat de exponent een priemgetal is. Mersennepriemgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.

Geschiedenis[bewerken]

Mersenne claimde in 1644 dat priem is als ; maar dat een samengesteld getal is wanneer een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. en zijn geen priemgetallen, terwijl , en dit juist wel zijn.

Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 een mersennepriemgetal, toen een ander getal was gevonden.[1]

Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden.

Het grootst bekende priemgetal is in december 2018 gevonden: het is 282 589 933−1. Het was het 51e mersennepriemgetallen dat is gevonden. [2][3]

Theorie[bewerken]

Poststempel van ongeveer 1964 tot 1976 gebruikt door het wiskundedepartement van het UIUC, naar aanleiding van de mersennepriemgetallen in 1963 door D Gillies ontdekt

Wanneer een mersennepriemgetal is, is de exponent zelf ook een priemgetal is. Dit volgt uit:

De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn

Hoewel het waar is dat alleen mersennegetallen priem kunnen zijn als ook een priemgetal is, kan het niettemin het geval zijn dat geen priemgetal is, terwijl dat wel is. Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal

is geen priemgetal, hoewel 11 dit wel is. Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

Perfecte getallen en mersennepriemgetallen[bewerken]

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Er geldt namelijk dat als een priemgetal is, dat dan een perfect getal is. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als waarbij een priemgetal is en een mersennepriemgetal.

Bijvoorbeeld: voor geldt dat een priemgetal is, en een perfect getal is.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.

Bekende mersennepriemgetallen[bewerken]

Er zijn op dit moment 51 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in december 2018 gevonden.

naam Mn getal datum van ontdekking ontdekt door
M51 282 589 933−1
met 24 862 048 cijfers
7 december 2018 P Laroche met GIMPS
M50 277 232 917−1
met 23 249 425 cijfers
26 december 2017 J Pace met GIMPS
M49 274 207 281−1
met 22 338 618 cijfers
7 januari 2016 C Cooper met GIMPS
M48 257 885 161−1
met 17 425 170 cijfers
25 januari 2013 C Cooper met GIMPS
M47 242 643 801−1
met 12 837 064 cijfers
12 april 2009 OM Strindmo met GIMPS
M46 237 156 667−1
met 11 185 272 cijfers
6 september 2008 H-M Elvenich met GIMPS
M45 243 112 609−1
met 12 978 189 cijfers
23 augustus 2008 Universiteit van Californië - Los Angeles met GIMPS
M44 232 582 657−1
met 9 808 358 cijfers
4 september 2006 C Cooper en S Boone met GIMPS
M43 230 402 457−1
met 9 152 052 cijfers
15 december 2005 C Cooper en S Boone met GIMPS
M42 225 964 951−1
met 7 816 230 cijfers
28 februari 2005 M Nowak in samenwerking, Duitsland
M41 224 036 583−1
met 7 235 733 cijfers
15 mei 2004 J Findley in samenwerking, Verenigde Staten
M40 220 996 011−1
met 6 320 430 cijfers
17 november 2003 M Shafer in samenwerking, Verenigde Staten
M39 213 466 917−1 14 november 2001 M Cameron in samenwerking, Canada
M38 26 972 593−1 1 juni 1999 N Hajratwala in samenwerking, Verenigde Staten
M37 23 021 377−1 27 januari 1998 R Clarkson in samenwerking, Verenigde Staten
M36 22 976 221−1 24 augustus 1997 G Spence in samenwerking, Verenigd Koninkrijk
M35 21 398 269−1 november 1996 J Armengaud in samenwerking, Frankrijk
M34 21 257 787−1 1996 D Slowinski en P Gage
M33 2859 433−1 1994 D Slowinski en P Gage
M32 2756 839−1 1992 D Slowinski en P Gage
M31 2110 503−1 1988 D Slowinski
M30 2216 091−1 1985 D Slowinski
M29 2132 049−1 1983 W Colquitt en L Welsh
M28 286 243−1 1982 D Slowinski
M26, M27 223 209−1, 244 497−1 1979 LC Noll
M25 221 701−1 1978 LC Noll en L Nickel
M24 219 937−1 1971 B Tuckerman
M21 - M23 29 689−1, 29 941−1, 211 213−1 1963 DB Gillies
M19, M20 24 253−1, 24 423−1 1961 A Hurwitz
M18 23 217−1 1957 H Riesel
M13 - M17 2521−1, 2607−1, 21 279−1, 22 203−1, 22 281−1 1952 RM Robinson
M1 - M12 22−1, 23−1, 25−1, 27−1, 213−1, 217−1
219−1, 231−1, 261−1, 289−1, 2107−1, 2127−1
voor 1915 Oud-Griekse wiskunde, Pietro Cataldi, Leonhard Euler, I Pervushin, RE Powers, Édouard Lucas