Orde van grootte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De orde van grootte (Engels: order of magnitude) van een getal is een term die gebruikt wordt binnen de exacte wetenschappen (onder andere: natuurkunde, scheikunde, astronomie en geofysica) om een macht van 10 mee aan te duiden als (tamelijk grove) benadering van het getal. Bij het afschatten van uitkomsten van berekeningen is het bepalen van de orde van grootte een belangrijk hulpmiddel om 'onzin-uitkomsten' vroegtijdig te kunnen elimineren.

Onder de orde van grootte van een reëel getal x verstaan we de macht van 10 die ‘het dichtst bij’ x ligt. Zo is bijvoorbeeld de orde van grootte van x = 2300 en de orde van grootte van 6800.

De exponent N in de macht van 10 is de exponent van de orde van grootte, maar die wordt zelf ook wel de orde van grootte genoemd. Als men zegt: “het getal y is 2 ordes van grootte groter dan x”, dan bedoelt men te zeggen: “de orde van grootte van y is maal de orde van grootte van x”. Nauwkeuriger zou zijn: “De exponent van de orde van grootte van y is 2 groter dan de exponent van de orde van grootte van x”.

De orde van grootte van x staat in relatie tot de wetenschappelijke notatie van x, dus de uitdrukking: . Hierin is s de significant van x (Engels: significand, vaak in relatie met computers ten onrechte de mantisse genoemd). Een veel toegepaste normalisatie van de wetenschappelijke notatie gebruikt significanten in het interval van 1,000… tot en met 9,999….

Afhankelijk van hetgeen men verstaat onder ‘het dichtst bij’ zijn verschillende aanscherpingen van bovenstaande definitie mogelijk. Welke aanscherping men kiest is afhankelijk van hoe men de schaal van de getallen x ‘ziet’.

Orde van grootte op een logaritmische schaal[bewerken]

Door het gebruik van machten van 10 ontstaat een logaritmische indeling van de getallenas. Tot ongeveer 1975, dus voor de massale opkomst van digitale computers en elektronische rekenmachines, werd er gerekend met rekenliniaal en logaritmetabel. De meeste rekenlinialen bevatten een schaal met significanten (D) en een schaal (L) met mantissen. Ook de logaritmetabel, die vooral werd gebruikt als berekeningen met meer significante cijfers moesten worden uitgevoerd, was een tabel met significanten en bijbehorende mantissen. De exponent n werd toen de wijzer van x genoemd.

Belangrijk is zich te realiseren dat daarbij ook de significanten langs een logaritmische as worden voorgesteld. Het product van twee getallen wordt dan bepaald via de som van de logaritmen, het quotiënt via het verschil, enzovoorts.

Als de significanten op een logaritmische schaal worden voorgesteld, ligt de wortel uit 10 (ongeveer 3,162) halverwege het interval van de genormaliseerde significanten. Op een logaritmische schaal hebben dus alle getallen in het halfopen interval dezelfde macht als orde van grootte. In dat geval is de exponent van de orde van grootte N = n. Aangezien de wortel uit 10 ongeveer 3,162 is, hebben bijvoorbeeld alle getallen van 316,2 tot 3162 de macht als dezelfde orde van grootte. In het bijzonder hebben zulke uiteenlopende getallen als 400 en 2300 dezelfde orde van grootte, namelijk 1000.

Maar niet alle getallen hebben als orde van grootte. Dat kan men zien als men de logaritme van een positieve x bepaalt: . De mantisse m van x is de logaritme van de significant: . Alleen de getallen met een mantisse kleiner dan ½ hebben als orde van grootte, dus N = n. Getallen met een mantisse groter dan of gelijk aan ½ hebben als orde van grootte, dan dus N = n + 1. Men ziet dat terug in het bovenstaande voorbeeld met de getallen 2300 en 6800.

Dat betekent dat men de exponent van de orde van grootte heel gemakkelijk kan vinden. Bepaal de logaritme van x en rond die op de gebruikelijke wijze af op het dichtstbij liggende gehele getal, dus . Bijvoorbeeld log 2300 ≈ 3,362, afgerond 3. De exponent van de orde van grootte is dus 3. Dus van 2300 is 1000 de orde van grootte. Maar log 6800 ≈ 3,833, afgerond 4, dus, van het getal 6800 is 10.000 de orde van grootte.

Orde van grootte op een lineair-logaritmische schaal[bewerken]

Met de komst van drijvende komma getallen in digitale computers is iets merkwaardigs ontstaan. Enerzijds is er sprake van een logaritmische indeling van getallen in decaden volgens machten van 10, maar anderzijds worden de significanten (daarbij vaak ten onrechte mantissen genoemd) opgevat als getallen op een lineaire schaal. De getallenas is in die voorstelling een opeenvolging van lineaire decaden, er is dus sprake van een lineair-logaritmische schaal. Een vermenigvuldiging bijvoorbeeld wordt daadwerkelijk als vermenigvuldiging uitgevoerd; een optelling van logaritmen is daarbij niet aan de orde.

Dat betekent dat alle getallen in het halfopen interval de macht als dezelfde orde van grootte hebben. Dus voor de exponent van de orde van grootte van die getallen geldt: N = n. Getallen met een significant groter dan of gelijk aan 5 hebben echter N = n + 1 als exponent van de orde van grootte. Zo hebben bijvoorbeeld alle getallen tussen 500 en 5000 de macht = als orde van grootte. Een getal zoals 612 in dit interval is in wetenschappelijke notatie 6,12·, maar de orde van grootte () vindt men door 612 te schrijven als 0,612·.

Op een gewone logaritmische schaal is de exponent van de orde van grootte de afgeronde logaritme van de significant. De orde van grootte is dus gemakkelijk via de logaritme te vinden. Bij significanten op een lineair-logaritmische schaal is dat niet het geval, omdat de decade met getallen met dezelfde orde van grootte lineair van karakter is en niet logaritmisch.

Voorbeelden[bewerken]

  • Een kist met 1000 appels is één orde van grootte meer dan een kist met 100 appels. Ofwel; de kist met 1000 appels scheelt een factor tien met de kist met 100 appels.
  • De leeftijd van het heelal is in de grootteorde van 10 miljard jaar (1010). De tijd dat het duurt voordat een zwarte dwerg ontstaat wordt geschat op minimaal 1015 jaar, dat is dus vijf ordes van grootte meer. Er zijn op dit moment dus nog geen zwarte dwergen.
  • Veel cellen in het menselijk lichaam hebben een diameter in de orde van grootte van 10 micrometer.

Toepassingen[bewerken]

De orde van grootte is in essentie gekoppeld aan een logaritmische schaal: een bijtelling van één eenheid in de exponent van de orde van grootte duidt op een vergrotingsfactor van het bestudeerde verschijnsel met een factor 10. Deze aanduiding wordt breed toegepast bij verschijnselen die op een intervalschaal of ratioschaal weer te geven zijn en waarbij de gemeten waarden een groot meetbereik kunnen beslaan.

Op eenzelfde principe berust ook het gebruik van SI-voorvoegsels. De officiële voorvoegsels, zoals milli, micro of nano en kilo, mega of giga, zijn ordes van grootte, waarvan de exponent een veelvoud van 3 is. De voorvoegsels centi, deci, deca, en hecto zijn ordes van grootte met exponenten respectievelijk -2, -1, 1 en 2.

Verder worden geluidsdruk, signaal-ruisverhouding en vele andere grootheden uitgedrukt in decibel. De decibel is een verhoudingsgetal, waarbij een vertienvoudiging van de verhouding wordt aangegeven als tien extra eenheden op het meetinstrument. De orde van grootte is dus een tiende van de meetwaarde van de decibelmeter.

De wet van Weber is de formalisering van een ervaringsregel uit de psychofysica die aangeeft dat bij veel menselijke gewaarwordingen een vermenigvuldiging van de fysieke prikkel leidt tot een bijtelling in de gewaarwording. Deze ervaringsregel is een van de achterliggende redenen waarom maatstaven voor zintuiglijke indrukken vaak een logaritmisch karakter hebben. De decibelmeting voor geluidshinder is hiervan een voorbeeld. De wet van Weber wordt overigens bekritiseerd, omdat hij veelal slechts voor een beperkt intensiteitsbereik geldig zou zijn.

Zie ook[bewerken]