Irrationaal getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De beroemde wiskundige constante pi (π) is een van de bekendste irrationale getallen

Een irrationaal getal is een reëel getal dat niet te schrijven is als het quotiënt van twee gehele getallen. Is een getal wel te schrijven als een quotiënt van twee gehele getallen, dan spreken we over een rationaal getal. Rationale en irrationale getallen samen vormen de verzameling van de reële getallen.

Een bekend voorbeeld van een irrationaal getal is de wortel uit 2.

De Pythagoreërs ontdekten dat bewijsbaar is dat de wortel uit 2 geen rationaal getal is. Omdat er echter in het beeld van de Pythagoreërs alleen maar rationale getallen bestonden, schrok men hier erg van. Zij probeerden het bewijs niet bekend te laten worden. Andere irrationale getallen zijn bijvoorbeeld π en e, evenals veelvouden en machten van deze getallen. De 'meeste' reële getallen zijn irrationaal, het aantal rationale getallen is aftelbaar oneindig, het aantal irrationale getallen is overaftelbaar.

Het is niet altijd eenvoudig om vast te stellen (en te bewijzen) of een reëel getal rationaal of irrationaal is. Van de constante van Euler is niet bekend of dit getal rationaal is of niet.

Geschiedenis[bewerken]

De ontdekking van de irrationaliteit van het getal \scriptstyle\sqrt{2} speelt een belangrijke rol in de legendes over de Pythagoreërs.

Het concept van irrationaliteit werd sinds de 7e eeuw voor Christus impliciet aanvaard door Indiase wiskundigen, toen Manava (ca. 750-690 v. C.) geloofde dat de vierkantswortels van bepaalde getallen zoals 2 en 61 niet exact konden worden bepaald.[1] Een andere bron stelt zelfs dat de irrationale getallen in India al in 1500 v.Chr door Nilakantha zouden zijn opgemerkt.[2]

Het eerste bewijs van het bestaan van irrationale getallen wordt meestal toegeschreven aan een wiskundige uit de Pythagoraeïsche school, Hippasus van Metapontum.[3] Hippasus deed deze ontdekking waarschijnlijk bij het identificeren van de zijden van de pentagram.[4] De toen geldende Pythagorese methode ging ervan uit dat er een voldoende kleine, ondeelbare eenheid moest bestaan, die gelijkmatig in een van deze lengtes als ook in de andere zou passen. Hippasus was in de 5de eeuw voor Christus echter in staat te deduceren dat er in feite geen gemeenschappelijke ondeelbare maateenheid kon bestaan, en dat de bewering van een dergelijk bestaan tot een contradictie leidde. Hij deed dit door aan te tonen dat, indien de schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek inderdaad commensurabel was met een van de benen van de driehoek, deze maateenheid tegelijkertijd oneven en even moest zijn, wat onmogelijk is.

Zijn redenering is als volgt (zie ook: Bewijs dat wortel 2 irrationaal is):

  • De verhouding van de hypothenusa met een been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is a:b, uitgedrukt in de kleinst mogelijke eenheden.
  • Door de stelling van Pythagoras geldt: a2 = 2b2.
  • Aangezien a2 even is, moet a even zijn, aangezien het kwadraat van een oneven getal ook een oneven getal is.
  • Aangezien a':b in zijn kleinste termen is uitgedrukt, moet b oneven zijn.
  • Aangezien a even is, laat a= 2y zijn.
  • Dan geldt a2 = 4y2 = 2b2
  • b2 = 2y2, zodat b2 even moet zijn, daarom is b even.
  • Wij begonnen echter met de aanname dat b oneven moest zijn. Hier is sprake van een contradictie.[5]

In de Oudgriekse wiskundigen noemde men deze verhouding van incommensurabele groottes alogos, of onuitdrukbare groottes.

Hippasus werd niet geprezen voor zijn bewijs: volgens een legende deed hij zijn ontdekking, terwijl hij op zee was; zijn collega Pythagoreërs zouden hem vervolgens prompt overboord hebben gegooid "... dit voor het feit dat hij een element in het universum had gevonden dat de leer ... ontkende dat alle fenomenen in het heelal kunnen worden teruggebracht tot gehele getallen en hun verhoudingen."[6] Een andere legende luidt overigens dat Hippasus enkel werd verbannen. Wat de persoonlijke consequenties voor Hippasus ook geweest mogen zijn, het is wel zeker dat zijn ontdekking een dramatisch probleem voor de Pythagoreïsche wiskunde en filosofie stelde, omdat de belangrijkste vooronderstelling van deze stroming, dat getal en meetkunde onscheidbaar zijn, werd ontkracht; het fundament werd onder hun theorie weggeslagen.

Theodorus van Cyrene bewees de irrationaliteit van de n-de wortel van gehele getallen tot en met 17, maar stopte waarschijnlijk omdat de algebra, waar hij gebruik van maakte, niet kon worden toegepast op de vierkantswortel van 17.[7]

Het was niet tot Eudoxus van Cnidus zijn theorie van verhoudingen ontwikkelde, waarin zowel irrationale als rationale ratio's in aanmerking werden genomen, dat er een sterk wiskundig fundament voor de irrationale getallen werd gelegd.[8] Een grootte "was geen getal, maar stond voor grootheden, zoals lijnstukken, hoeken, oppervlakten, volumes en tijd, grootheden die, zoals wij zouden zeggen, continu kunnen variëren. Groottes werden afgezet tegenover gehele getallen, die van de ene waarde naar de andere springen, zoals bijvoorbeeld van 4 naar 5."[9] Getallen zijn samengesteld uit een kleinste, ondeelbare eenheid, terwijl groottes oneindig klein kunnen worden gemaakt. Omdat er geen kwantitatieve waarden aan groottes werden toegewezen, was Eudoxos in staat om zowel rekening te houden met zowel commensurabele als incommensurabele verhoudingen door een verhouding in termen van groottes te definiëren, en proportie als een gelijkheid tussen twee verhoudingen. Door kwantitatieve waarden (getallen) uit de vergelijking te halen, vermeed hij de val om een irrationeel getal als een getal uit te willen drukken. De theorie van Eudoxos stelde de Griekse wiskundigen in staat enorme vooruitgang te maken in de meetkunde, aangezien deze theorie de noodzakelijke logische basis legde voor incommensurabele verhoudingen.[10] Boek 10 van Euclides zijn Elementen is gewijd aan de classificatie van irrationele groottes.

Andere voorbeelden[bewerken]

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

Enkele bekende irrationale getallen zijn:

  • e, waarvan de decimaalontwikkeling begint met 2,718 281 828 459 ..., is een fundamentele constante die als eerste is onderzocht door Leonhard Euler. Het is een transcendent getal. Het getal vormt de basis van de natuurlijke logaritme. Exponentiële groei met e als grondtal heeft zichzelf als afgeleide. Het getal e speelt verder een grote rol in de complexe getallen.
  • π, waarvan de decimaalontwikkeling begint met 3,141 592 653 58 ..., is de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel. Ook dit is een transcendent getal en een fundamentele constante die op allerlei plaatsen in de wiskunde opduikt. Er wordt zelfs een pi-dag gevierd.
  • Gulden snede, het getal ½+½√5, komt voort uit een verhouding waarin een lijnstuk wordt verdeeld. Deze verhouding is zodanig dat het grote deel staat tot het kleine gelijk is aan het hele lijnstuk staat tot het grote deel. Het wordt veelal aangeduid met de Griekse letter φ.
  • Constante van Feigenbaum, waarvan de decimaalontwikkeling begint met 4,669 20..., is de belangrijke constante in de chaostheorie.

Voetnoten[bewerken]

  1. T.K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians" (De prestaties van het antieke Indiase wiskundigen), pag 411-2, in "Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics" (Wiskunde tussen culturen: de geschiedenis van de niet-westerse wiskunde) Helaine Selin, Ubiratan D'Ambrosio, 2000, Springer Science + Business Media, ISBN 1-4020-0260-2
  2. Ed. Dold-Samplonius et al., "2000 Years Transmission of Mathematical Ideas", (2000 jaar uitwisseling van wiskundige ideeën", pag. 31-44
  3. Kurt von Fritz, 1945, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (De ontdekking van incommensurabiliteit door Hippasus van Metapontum, The Annals of Mathematics
  4. James R. Choike, 1980, The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number (Het pentagram en de ontdekking van een irrationaal getal), The Two-Year College Mathematics Journal)
  5. Kline, M., (1990), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Wiskundig denken van antieke- tot moderne tijden), Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Origineel werk gepubliceerd in 1972). p.33.
  6. Kline 1990, blz. 32.
  7. Robert L. McCabe, Theodorus' Irrationality Proofs (De irrationaliteit van Theodorus Bewijzen), Mathematics Magazine, 1976.
  8. Charles H. Edwards, The historical development of the calculus (De historische ontwikkeling van de calculus), 1982, Springer
  9. Kline 1990, p.48.
  10. Kline 1990, p.49.