Wortel 2

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De hypotenusa van een rechthoekige en gelijkbenige driehoek met rechthoekszijden 1 heeft de lengte √2

De wortel van (of uit) 2, geschreven als √2, is het positieve reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf gelijk is aan het getal 2:

en

√2 is een irrationaal getal dat bij benadering gelijk is aan[1]:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875....

De breuk 99/70 wordt veel als benadering van √2 gebruikt. Deze benadering is tot en met de vierde decimaal correct.

Volgens de definitie van gebroken machten kan ook geschreven worden: .

Geschiedenis[bewerken]

kleitablet YBC 7289 (ca. 1800–1600 v.Chr.)

Het Babylonische kleitablet YBC 7289[2] uit circa 1800-1600 v.Chr. geeft een benadering van √2 in vier sexagesimale cijfers, wat overeenkomt met ongeveer zes decimale cijfers

Waarbij het overstreepte gedeelte repeterend (repetent) is.

Een andere precieze benadering van het getal wordt gegeven in oud-Indische wiskundige teksten, de Sulbasutras, van ongeveer 800-200 v.Chr: Verhoog de lengte [van de zijde] met zijn derde, en dit derde met zijn eigen vierde min het vierendertigste deel van dat vierde.[3] Dat komt neer op,

Deze oude Indische benadering is de zevende in een reeks steeds nauwkeurigere benaderingen gebaseerd op de Pellreeks, die uit de kettingbreuk van √2 kan worden afgeleid.

Benaderingen[bewerken]

Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 φ e π
Verschillende representaties van √2
binair 1,0110101000001001111...
decimaal 1,4142135623730950488...
hexadecimaal 1,6A09E667F3BCC908B2F...
kettingbreuk

Er is een aantal algoritmes om te benaderen als een breuk van gehele getallen of als decimaal getal. Het meest gebruikte algoritme hiervoor, dat ook veel in computers en rekenmachines wordt gebruikt, is de Babylonische methode[4] om wortels uit te rekenen.

De methode gaat van de volgende gelijkheid uit:

Met een startwaarde , die een grove benadering van √2 is, wordt √2 daarna beter benaderd door de volgende iteratiestap uit te voeren:

Als de limiet van dit proces is, geldt:

,

dus .

Hoe meer wordt geïtereerd, hoe beter de benadering wordt. Elke iteratie verdubbelt het aantal correcte decimalen (kwadratische convergentie). Wordt begonnen met

,

dan worden de volgende benaderingen (de correcte cijfers zijn onderstreept) in de reeks gegeven door:

Deze methode werkt niet alleen voor twee, op deze manier kan de wortel van ieder getal, wanneer het tenminste positief is, worden bepaald.

De waarde van √2 is in 1997 door een team onder leiding van Yasumasa Kanada tot op 137.438.953.444 decimalen berekend. Deze precisie werd in februari 2006 overtroffen door Shigeru Kondo die op een 3,6 GHz PC met 16 GiB geheugen in iets meer dan 13 dagen en 14 uur 200 miljard, of 2 × 1011, decimalen berekende.[5]

De convergenten van de kettingbreuk zijn 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ... (ze vormen een rij met lineaire convergentie). Ze vormen in bepaalde zin de beste benaderingen van √2 door breuken (niet te verwarren met de snelheid van convergentie van de rij):

  • Voor elke convergent geldt dat de absolute waarde van de afwijking ten opzichte van √2 kleiner is dan bij elke andere breuk met een kleinere of gelijke noemer. Er zijn echter ook andere breuken met deze eigenschap, zoals 4/3 en 24/17.
  • Zelfs de absolute waarde van de afwijking vermenigvuldigd met de noemer is kleiner dan bij elke andere breuk met een kleinere of gelijke noemer. Ook het omgekeerde geldt: elke breuk met deze eigenschap is een convergent van √2.

Irrationaal getal[bewerken]

De stelling dat √2 een irrationaal getal is, betekende de ontdekking van getallen die niet rationaal waren, dus niet als de breuk van twee natuurlijke getallen zijn te schrijven. Daarmee werd het wereldbeeld van de Pythagoreërs, die de natuurlijke getallen als de maat van alle dingen beschouwden, omver geworpen.

De stelling kan op diverse manieren bewezen worden, bijvoorbeeld uit de hoofdstelling van de rekenkunde.[6] Hieronder volgt het klassieke bewijs.

Bewijs[bewerken]

Het gegeven bewijs is een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde:

Stel dat √2 een rationaal getal is en wel:

,

waarin de breuk zodanig vereenvoudigd is dat en relatief priem zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben).

Dan volgt dat

en na links en rechts kwadrateren

Daaruit volgt dat een even getal is, en dus ook dat zelf even is, zeg .

Daaruit volgt weer:

,

dus

Kennelijk is even, en daarmee ook zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat en relatief priem zijn. De veronderstelling dat √2 een rationaal getal is, is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.

Door Euclides is dit getaltheoretische bewijs in Boek 10 van De Elementen gegeven.

De A-standaard voor papierformaat[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Papierformaat voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De A-serie van papierformaten is een serie van vellen waarbij het volgende formaat steeds tweemaal zo klein is. De verhouding van de lange tot de korte zijde bedraagt steeds √2 : 1. De serie begint met A0, een vel met een oppervlakte van 1 m². Met de berekende verhouding levert dat een vel van 1189 mm bij 841 mm op.