Reëel deel

Van een complex getal $z$ , weergegeven met de reële getallen $x$ en $y$ als $z=x+iy$ , heet $x$ het reële deel van $z$ . Wordt $z$ voorgesteld als het geordende paar $z=(x,y)$ dan is het eerste element van het paar het reële deel van $z$ . Een complex getal heeft dus een reëel deel en een imaginair deel.

Het reële deel van $z$ wordt genoteerd als $\mathrm {Re} (z)$ of ook als $\Re (z),$ waarin $\Re$ de hoofdletter R is in Fraktur.

Eigenschappen

De complexe functie die het complexe getal $z$ afbeeldt op zijn reële deel, is niet holomorf.

Met behulp van de complex geconjugeerde ${\bar {z}}$ van $z$ kan het reële deel van $z$ geschreven worden als

\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}

.

Voor de polaire vorm

z=r\,e^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\,\sin \varphi )

geldt

\mathrm {Re} (z)=r\,\cos \varphi

.

Voorbeelden

Berekeningen met echte periodieke functies, zoals wisselstromen en elektromagnetische velden worden vereenvoudigd door ze als reële delen van complexe functies op te schrijven, met een fasor.
Een sinusoïde kan op dezelfde manier als het reële deel van een complexe $e$ -macht worden geschreven. Bijvoorbeeld:

{\begin{aligned}\cos(n\theta )+\cos((n-2)\theta )&=\mathrm {Re} \left(e^{in\theta }+e^{i(n-2)\theta }\right)\\&=\mathrm {Re} \left(\left(e^{i\theta }+e^{-i\theta }\right)\cdot e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=\mathrm {Re} \left(2\cos(\theta )\cdot e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=2\cos(\theta )\cdot \mathrm {Re} \left(e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=2\cos(\theta )\cdot \cos((n-1)\theta ).\end{aligned}}