Koppel (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het begrip koppel of ook geordend paar stamt uit de wiskundige verzamelingenleer. Een koppel is een geördende verzameling van twee elementen. De gebruikelijke notatie voor een koppel is , waarin het beginpunt of de oorsprong van het koppel is, en het eindpunt of het doel van het koppel.

Kenmerk, schrijfwijzen en verwante begrippen[bewerken]

De kenmerkende eigenschap van een koppel is dat het twee elementen opsomt in een welbepaalde volgorde. Zij een element van een verzameling , en een element van een verzameling , dan noteert men het geordend paar als . Het koppel is gelijk aan het koppel dan en slechts dan als en . Het koppel is niet hetzelfde als het paar : bij dit laatste speelt de volgorde van en geen rol. Er geldt altijd:

maar

tenzij , In dit laatste geval spreekt men van een identiek koppel.

Soms wordt ook de notatie met schuine haken gehanteerd, bijvoorbeeld om het onderscheid te maken met een open interval op een rechte of op de reële getallenlijn. Soms wordt de komma vervangen door een kommapunt, met name als de elementen en decimale getallen zijn, bijvoorbeeld

voor het koppel dat bestaat uit het natuurlijke getal een en de breuk drie tweede.

Grafisch wordt een koppel meestal voorgesteld als een paar punten, verbonden door een boog met een pijltje. Het pijltje geeft de zin aan van de oorsprong naar het doel.

Ordered pair.svg

Bij een identiek koppel vallen begin- en eindpunt samen. De boog wordt dan een lus zonder pijltje.

Definitie[bewerken]

Handboeken over naïeve verzamelingenleer mijden een formele definitie en hanteren de kenmerkende eigenschap als een uitdrukkelijk of verzwegen axioma. In wiskundige modellen waarin alles een verzameling is, wordt het koppel gedefinieerd als de verzameling . Deze definitie heeft enige formele elegantie en maakt de kenmerkende eigenschap eenvoudig bewijsbaar, maar ze is voor de intuïtie eerder hinderlijk dan behulpzaam.

De verzameling van alle mogelijke koppels waarvan het eerste lid tot een gegeven verzameling behoort, en het tweede lid tot een gegeven verzameling , noemt men het cartesisch product van en , genoteerd als .

Veralgemening[bewerken]

Analoog met koppels onderscheidt men soms tripels (tripletten, geordende drietallen), quadrupels (geordende viertallen), quintupels (geordende vijftallen), sextupels (geordende zestallen), enzovoort. Bij een algemeen aantal elementen spreekt men van een -tupel of kortweg tupel.

Als een formele definitie van een tripel nodig is, dan kan men afspreken dat

Ook hier is de definitie minder belangrijk dan de kenmerkende eigenschap:

en

Recursief wordt een -tupel gedefinieerd via een -tupel

,

met een analoge kenmerkende eigenschap dat twee tupels slechts dan aan elkaar gelijk zijn als de overeenkomstige elementen twee aan twee aan elkaar gelijk zijn in de aangegeven volgorde.

In het relationele gegevensbankmodel, een onderdeel van de theoretische informatica, wordt het woord relatie gebruikt voor een eindige verzameling -tupels, waarbij een vast getal is dat verschillend van 2 kan zijn, en die deel uitmaakt van een gegeven Cartesisch product waarvan de componenten (niet noodzakelijk eindige) verzamelingen zijn.