Galoisgroep

In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een galoisgroep een groep die aan een polynoom wordt toegekend. Er kan bij ieder polynoom de galoisgroep ervan worden bepaald. Alle nulpunten van een polynoom liggen volgens de hoofdstelling van de algebra in het complexe vlak. De nulpunten van een polynoom vormen met de reële getallen in het complexe vlak een lichaam (Ned) / veld (Be) van algebraïsche getallen. De galoistheorie bestudeert welke groepen die de nulpunten van een polynoom $f$ permuteren, $f$ invariant laten. De galoisgroep van $f$ wordt daar door bepaald. Bij iedere eindige groep $G$ is er een polynoom $f$ te vinden, zodat $G$ de galoisgroep van $f$ is. De galoisgroepen zijn naar de Franse wiskundige Évariste Galois genoemd, die deze groepen als eerste beschreef.

De studie van de galoisgroepen van polynomen is begonnen met de studie van de lichaams/velduitbreidingen. Van historische betekenis was de vraag naar de construeerbaarheid met passer en liniaal van bepaalde algebraïsche getallen, dus nog niet van alle nulpunten van polynomen in het algemeen. Er werd naar de automorfismen gekeken, die de galoisuitbreiding $L$ van de reële getallen met gekozen algebraïsche getallen elementsgewijs hetzelfde lieten. Deze gekozen algebraïsche getallen waren de getallen die met wortelvormen konden worden geschreven. De automorfismen die bij $L$ hier aan voldoen, vormen een groep, de galoisgroep van $L$.

Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan op deze manier niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom in de coëfficiënten uit te drukken, is er wel. Voor het geval dat de nulpunten wel in de coëfficiënten zijn uit te drukken, geeft deze methode hetzelfde antwoord als dat met behulp van directe berekening was bepaald. Deze methode is erop gebaseerd, dat de coëfficiënten van een polynoom $f$ symmetrische functies in de coëfficiënten van $f$ zijn.

Oude definitie

De galoisgroep $\mathrm {Gal} (L/K)$ van de lichaamsuitbreiding $L/K$, lees $L$ over $K$, van het lichaam $K$ is de groep van automorfismen van $L$ die elk element van $K$ op dat element zelf afbeelden. Dus

$\mathrm {Gal} (L/K)=\lbrace \varphi \in \mathrm {Aut} (L)\mid \forall k\in K:\varphi (k)=k\rbrace$

Een speciaal geval vormen de galoisgroepen die bij een polynoom horen. De galoisgroep van een polynoom $f$ met coëfficiënten in het lichaam $K$ is de galoisgroep $\mathrm {Gal} (L/K)$ van een splijtlichaam $L$ van $f$. De galoisgroep van het polynoom $f$ wordt genoteerd als $\mathrm {Gal} (f)$ of $G(f)$. Men spreekt in dit verband meestal van de galoisgroep omdat splijtlichamen de galoisgroep op isomorfie na eenduidig bepalen.

Omdat galoisgroepen vooral toepassing vinden, als de lichaamsuitbreiding een galoisuitbreiding is, wordt in de literatuur vaak alleen in dit geval van galoisgroep gesproken.

Voorbeelden

De complexen getallen $\mathbb {C}$ vormen een lichaam en omvatten het lichaam van de reële getallen $\mathbb {R}$. Dus is $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ een lichaamsuitbreiding. Aangezien $\mathbb {C}$ een vectorruimte is van dimensie 2 over $\mathbb {R}$, is $\{1,i\}$ een basis en is de graad van de uitbreiding $[\mathbb {C$ :\mathbb {R} ]=2} . De galoisgroep bestaat uit twee elementen: de identiteit en de complexe conjugatie. De uitbreiding $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ is de uitbreiding van het polynoom $f(x)=x^{2}+1$, die de wortels $i$ en $-i$ heeft. De identiteit beeldt elke wortel op zichzelf af, de complexe conjugatie verwisselt ze. De galoisgroep $\mathrm {Gal} (f)$ is dus isomorf met de symmetrische groep S₂.

De galoisuitbreiding van het polynoom $f(x)=x^{3}+2$ over de rationale getallen $\mathbb {Q}$ is het splijtlichaam van $f$. De wortels van $p$ zijn ${\sqrt[{3}]{2\ }},\ \omega {\sqrt[{3}]{2\ }}$ en $\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2\ }}$ met $\omega =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {3\ }}$ een 3e eenheidswortel. De galoisuitbreiding is dus het splijtlichaam van $f$:

$\mathbb {Q} (\omega {\sqrt[{3}]{2}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})$

en de galoisgroep $\mathrm {Gal} (f)$ is isomorf met de symmetrische groep S₃.

Voetnoten