Galoisgroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een galoisgroep een speciale groep die bij een lichaams/velduitbreiding hoort en bestaat uit de automorfismen daarvan die het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) zelf elementsgewijs invariant laten. De galoisgroep is een hulpmiddel waarmee lichaamsuitbreidingen onderzocht kunnen worden, doordat de deellichamen in een lichaamsuitbreiding in verband staan met bepaalde ondergroepen van de galoisgroep. De galoisgroep is genoemd naar de Franse wiskundige Évariste Galois die deze groepen als eerste beschreef.

Van historische betekenis was dat de klassieke vraag naar construeerbaarheid met passer en liniaal van bepaalde algebraïsche getallen daardoor kon worden geformuleerd in termen van de groepentheorie. Volgens de hoofdstelling van de algebra liggen alle nulpunten van een polynoom met reële coëfficiënten in het complexe vlak, zij vormen in het complexe vlak een lichaam (Nederlands) / veld (Belgisch) van algebraïsche getallen. De studie van de galoisgroepen van polynomen is begonnen met de studie van de lichaams/velduitbreidingen. De galoistheorie bestudeert welke groepen die de nulpunten van een polynoom permuteren, invariant laten.

Definitie[bewerken]

Laat het lichaam een lichaamsuitbreiding zijn van het lichaam , meestal genoteerd als (lees " over "). De galoisgroep van deze uitbreiding is de groep van automorfismen van die elk element van op dat element zelf afbeelden. Dus

Een speciaal geval vormen de galoisgroepen die bij een polynoom horen. De galoisgroep van een polynoom met coëfficiënten in het lichaam is de galoisgroep van een splijtlichaam van De galoisgroep van de polynoom wordt genoteerd als of Men spreekt in dit verband eenvoudigweg van "de" galoisgroep omdat splijtlichamen de galoisgroep op isomorfie na eenduidig bepalen.

Bij iedere eindige groep is een polynoom te vinden, zodat de galoisgroep van is.

Omdat galoisgroepen vooral toepassing vinden, als de lichaamsuitbreiding een galoisuitbreiding is, wordt in de literatuur vaak alleen in dit geval van galoisgroep gesproken.

Voorbeelden[bewerken]

De complexen getallen vormen een lichaam en omvatten het lichaam van de reële getallen . Dus is een lichaamsuitbreiding. Aangezien een vectorruimte is van dimensie 2 over , is een basis en is de graad van de uitbreiding De galoisgroep bestaat uit twee elementen: de identiteit en de complexe conjugatie. De uitbreiding is de uitbreiding van de polynoom dat de wortels en heeft. De identiteit beeldt elke wortel op zichzelf af, de complexe conjugatie verwisselt ze. De galoisgroep is dus isomorf met de symmetriegroep

De galoisuitbreiding van de polynoom over de rationale getallen is het splijtlichaam van De wortels van zijn en met een 3e eenheidswortel. De galoisuitbreiding is dus het splijtlichaam van :

en de galoisgroep is isomorf met de symmetriegroep

Berekening[bewerken]

Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan met behulp van deze definitie niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom in de coëfficiënten uit te drukken, is er wel.[1] Voor het geval dat de nulpunten wel in de coëfficiënten zijn uit te drukken, geeft deze methode hetzelfde antwoord als dat met behulp van directe berekening zou zijn bepaald.

Deze methode is erop gebaseerd, dat de coëfficiënten van een polynoom symmetrische functies in de coëfficiënten van zijn.

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) RP Stauduhar in Mathematics of Computation. The Determination of Galois Groups, oktober 1973. 27, 124