Galoistheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De galoistheorie is een tak van de wiskunde, meer bepaald van de abstracte algebra. Ze is genoemd naar de Franse wiskundige Évariste Galois.

Galois ontwikkelde zijn theorie om nulpunten van polynomen te bestuderen. In haar oorspronkelijke vorm bestudeert de galoistheorie groepen van permutaties op de nulpunten van een polynoom, die de polynoom zelf invariant laten.

De moderne vorm van de galoistheorie is afkomstig van Richard Dedekind. In die vorm behandelt ze uitbreidingen van (commutatieve) lichamen door met ieder paar lichamen K\subset L een (niet noodzakelijk commutatieve) groep G[L/K] te associëren, galoisgroep van L over K genaamd. De elementen van G[L/K] zijn de automorfismen van L die de elementen van K stuk voor stuk invariant laten. De hoofdstelling van de galoistheorie brengt stijgende ketens van lichamen in verband met dalende ketens van normaaldelers in een groep.

De galoistheorie wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat sommige wiskundige problemen geen oplossing kunnen hebben, bijvoorbeeld de driedeling van de hoek met passer en liniaal, de kwadratuur van de cirkel en de algemene vijfdegraadsvergelijking.

Definitie[bewerken]

Zij L een lichaam, K een deellichaam van L. Men noemt L een galois-uitbreiding van K als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is, wanneer L het splijtlichaam van een polynomen met coëfficiënten in K is, in zekere zin het kleinste lichaam waarin de polynomen in factoren van de eerste graad kunnen worden ontbonden.

Deze definitie is gelijkwaardig met de eis dat er een verzameling G van automorfismen van L bestaat, zodat K precies uit de fixpunten van G bestaat:

K=\{x\in L|\forall g\in G:g(x)=x\}

L kan worden opgevat als een vectorruimte over K. Veronderstel dat L het splijtlichaam is van de polynoom f over K. De dimensie van het splijtlichaam van f wordt genoteerd met [L:K]. [L:K] is een veelvoud van de graad n van f.

Voorbeelden[bewerken]

  • Het lichaam \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) is de kleinste uitbreiding van de rationale getallen waarvan ook \sqrt[3]{2} element is. \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) is niet het splijtlichaam van de polynoom x3-2, want het bevat geen van de twee complexe nulpunten, \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},i\sqrt{3}) voldoet wel en is 6-dimensionaal over \mathbb{Q}.

Hoofdstelling van de galoistheorie[bewerken]

Zij L een lichaam, en G een eindige groep die bestaat uit automorfismen van L. Zij K het lichaam der elementen van L die door alle groepselementen invariant gelaten worden:

K=\{x\in L|\forall g\in G:g(x)=x\}

Beschouw voor ieder lichaam F tussen K en L, de ondergroep F* van G die bestaat uit de automorfismen die alle elementen van F invariant laten.

K\subset F\subset L,\ F^*=\{g\in G|\forall x\in F:g(x)=x\}

Beschouw voor elke ondergroep H van G het lichaam H* dat bestaat uit alle elementen van L die door de groepselementen van H invariant gelaten worden.

H^*=\{x\in L|\forall g\in H:g(x)=x\}

Het verband tussen F en F* bepaalt een bijectie tussen de verzameling deellichamen van L die K omvatten, en de verzameling ondergroepen van G. Het verband tussen H en H* bepaalt de omgekeerde bijectie.

Men kan bovendien aantonen dat [F/K] een normale uitbreiding is als en slechts als F* een normaaldeler is van G.

Oneindige galoistheorie[1][bewerken]

Een deel van de theorie blijft gelden voor oneindig-dimensionale lichaamsuitbreidingen en oneindige groepen. Men gaat nog steeds uit van een algebraïsche uitbreiding die normaal en separabel is, maar die eventueel oneindig-dimensionaal is over het grondlichaam. De automorfismengroep wordt voorzien van een topologie, en men beperkt zich tot de studie van gesloten deelgroepen.

Er geldt dan een bijectie tussen de verzameling gesloten deelgroepen van de automorfismengroep en de verzameling tussenlichamen. De normaaldelers van de automorfismengroep komen overeen met de normale uitbreidingen van het grondlichaam.

De gehanteerde topologie wordt voortgebracht door alle nevenklassen van normaaldelers van de automorfismengroep met eindige index. In die topologie bestaat de sluiting van een deelgroep van de automorfismengroep uit de automorfismen die alle fixpunten van de gegeven deelgroep ongemoeid laten.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. P.M. Cohn, "Algebra Vol.2", John Wiley & Sons 1977, paragraaf 6.7